Математика исламского Средневековья

Математика исламского Средневековья (также Исламская математика или Арабская математика) — это математика периода, когда учёные исламского мира внесли существенный вклад в её развитие. Пик этого периода пришёлся на Золотой век ислама^[1], а его завершение относят к промежутку между 1450 и 1630 годами^[2][3]. В этот период арабский язык длительное время оставался международным языком науки, опередив по масштабам любой другой язык предшествоваших эпох^[4]. Начиная с XI века, начали появляться научные труды и на персидском языке^[5].

Ряд интересных математических задач, стимулировавших развитие сферической геометрии и тригонометрии, были поставлены перед математиками и самой исламской религией. Это задача о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, а также об определении киблы — точного направления на Мекку^[6].

Именно в исламском мире оформились такие дисциплины, как алгебра, тригонометрия и криптология. Аль-Хорезми создал систематическое учение об уравнениях и положил начало алгебре как самостоятельной науке, а его последователи расширили методы на иррациональные числа, многочлены и кубические уравнения. Исламские математики шаг за шагом превращали тригонометрию из вспомогательного инструмента астрономии в самостоятельную дисциплину. Они ввели многие тригонометрические функции, а также доказали фундаментальные теоремы сферической тригонометрии. Завершающим этапом этого процесса стало творчество Насир ад-Дина ат-Туси, который систематизировал и обобщил накопленные достижения, оформив тригонометрию как отдельную науку. Параллельно возникла криптология — аль-Кинди впервые применил частотный анализ для взлома шифров, а аль-Калкашанди позднее систематизировал методы шифрования и дешифровки, фактически создав фундамент этой науки.

Другие направления математики также получили серьёзное развитие. В теории чисел из теории уравнений в рациональных числах выделилась теория диофантовых уравнений в целых числах, появилась первая теория дружественных чисел, углубились теории совершенных и фигурных чисел, были даны первые формулировки основной теоремы арифметики и теоремы Вильсона. Аль-Караджи первым изложил доказательства неявной математической индукцией, а Ибн аль-Хайсам фактически применял интегрирование многочленов для вычисления объемов, предвосхитив идеи математического анализа. В исламском мире берут своё начало десятичные дробные числа; само понятие «числа» из множества натуральных чисел было расширено до множества вещественных чисел; появилось первое систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе.

Множество математических терминов имеют арабское происхождение. К ним относятся алгебра, алгоритм, цифра, шифр, английское zero, немецкое Ziffer, французское chiffre и другие.

Развитие математики в средневековом исламском мире началось в VIII веке, однако исследователи расходятся во мнениях относительно даты окончания этого периода. Берггрен, О’Коннор и Робертсон называют серединy XV века^[2][7]. Хогендейк пишет, что «исламская математика и арабская математика — современные исторические термины для обозначения математических наук в исламской цивилизации с начала ислама (622 г. н. э.) до XVII века»^[8]. Рашед упоминает труды аль-Язди по теории чисел и указывает конкретно 1630 год как дату, «когда солнце математических наук заходит на исламском Востоке и встаёт на христианском Западе»^[3].

Формирование исламской математической традиции было тесно связано с масштабным переводческим движением античных текстов на арабский язык. Этот процесс начался в VIII веке и достиг расцвета при Аббасидском халифате, когда в Багдаде при поддержке халифов создавались библиотеки, обсерватории и научные центры, важнейшим из которых стал «Дом мудрости». Здесь работали не только отдельные учёные, но и целые группы исследователей и переводчиков, которые иногда даже соревновались друг с другом^[9].

Уже в конце VIII века Ибрахимом аль-Фазари на арабский с санскрита была переведена «Сиддханта» Брахмагупты. Из индийской математики в исламский мир пришли арабские цифры и число ноль^[10]. В IX веке были переведены фундаментальные произведения античных математиков. Аль-Хаджжадж первым перевёл «Начала» Евклида^[9], ему же принадлежит один из самых ранних сохранившихся переводов «Альмагеста» Аристотеля^[11]. Всего за несколько десятилетий «Начала» были переведены трижды, «Альмагест» — дважды. К концу века на арабский язык были переведены «Конические сечения» Аполлония, трактаты Архимеда, семь книг «Арифметики» Диофанта, а также труды Герона и Паппа Александрийских^[9].

Цель переводов заключалась в создании базы для обучения и дальнейших исследований. Выбор текстов определялся актуальными задачами: перевод трактатов Архимеда предназначался для улучшения методов измерения площадей и объёмов, а перевод «Арифметики» Диофанта пришёлся на период интенсивных исследований в области алгебры. Нередко переводы становились отправной точкой для создания новых теорий. Так, Сабит ибн Курра, занимавшийся переводом «Введения в арифметику» Никомаха из Герасы, разработал первую теорию дружественных чисел, поскольку у Никомаха эта тема не имела какого-либо строгого обоснования^[9].

Размах переводческой деятельности впечатляет — список арабских комментаторов одного только Евклида достигает более пятидесяти геометров и алгебраистов^[12]. Техника перевода в «Доме мудрости», отмечают современные исследователи, была очень высокой. Важная часть работы по переводу состояла в обогащении арабского словаря и в разработке философских и других научных терминов, соответствовавших греческим понятиям.

Работа Мухаммада аль-Хорезми, выполненная между 813 и 833 годами в Багдаде, стала поворотным моментом в развитии математики исламского Средневековья. В заглавии своей книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» он ввёл термин «алгебра», обозначив её как отдельную дисциплину. Аль-Хорезми описывал свою работу как «короткое сочинение по вычислению с правилами завершения и приведения, ограниченное тем, что является самым простым и полезным в арифметике». Его труд был не только теоретическим трактатом, но и имел практическое применение, направленное на решение задач в таких областях, как торговля и земельные измерения^[13]. Его наследие закрепило за ним почётное звание «отца алгебры»^[14][15][16].

Преемники аль-Хорезми начали систематическое применение арифметики к алгебре, алгебры к арифметике, обеих — к тригонометрии, алгебры — к евклидовой теории чисел, алгебры — к геометрии и геометрии — к алгебре. Эти приложения открывали путь к формированию новых дисциплин и разделов математики. Так возникли алгебра многочленов, комбинаторика, современная элементарная теория чисел, геометрические и численные методы решения уравнений, к этому же относится и превращение теории диофантовых уравнений в целых числах в самостоятельный раздел, отделившийся от теории уравнений в рациональных числах^[17].

В дальнейшем труды аль-Хорезми были переведены на латинский и до XVI века использовались в европейских университетах как основные учебники по математике^[18][19][20].

Аль-Хорезми также много лет возглавлял «Дом мудрости» в Багдаде, ставший с начала IX века научным центром халифата, в который халифами приглашались виднейшие учёные со всего исламского мира. Большинство багдадских учёных до XI века были выходцами из Средней Азии^{[Прим. 1]} или сабиями^{[Прим. 2]} — одной из защищённых по Корану религиозных групп^[21]. На западе халифата, в мусульманской испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу^[22].

В XIII веке после полного уничтожения Багдада монголами в ходе Жёлтого крестового похода (1256—1260), и захвата большей части Пиренейского полуострова испанцами в ходе Иберийских крестовых походов (1212^{[Прим. 3]}—1266^{[Прим. 4][23]}) мусульмане теряют оба своих крупнейших научных центра, что отождествляется некоторыми историками с концом Золотого века ислама. Монголами также была уничтожена столица и научный центр восточного исламского мира, Мерв^[24].

В своей хронике XVI века об уничтожении Багдада ан-Нахравали писал, что в реку Евфрат было брошено так много книг, что они образовали мост, который мог поддержать человека верхом на лошади, а выжившие говорили, что река Тигр была чёрной от смытых с рукописей чернил и красной от крови учёных и философов.

Уничтожение Багдада привело к утрате важных научных знаний, разрушению образовательных центров и ослаблению интеллектуальных связей, что нанесло серьёзный удар по развитию математики в исламском мире. А потеря мусульманами аль-Андалуса была фатальной для дальнейшего развития математики на западе. Вероятно, последним математиком с оригинальными работами там является Ибн аль-Банна (1256—1321)^[26].

В дальнейшем поддержка и финансирование науки монгольскими ханами и их преемниками были направлены на астрологию, однако косвенно благодаря этому своё развитие получили и необходимые для изучения небесных тел астрономия и математика (десятичные дроби, тригонометрия, методы астрономических вычислений)^[27]. Развитие научных центров теперь было связано с обсерваториями (Марагинская обсерватория, Обсерватория Улугбека, Константинопольская обсерватория Такиюддина), которые использовались для астрологических наблюдений^[27][28].

После разрушения Багдада благодаря Насир ад-Дину ат-Туси (1201—1274), который смог вынести из города часть ценных рукописей^[29], Мераге на период второй половины XIII века становится новым научным центром региона, но уже к следующему веку наука там приходит в упадок. Позднее в Центральной Азии появляется ещё один научный и культурный центр — Самарканд, происходит Тимуридский Ренессанс, который заканчивается после убийства математика и султана Мавераннахра Улугбека (1394—1449). Его ученик Али Кушчи (1403—1474) прибывает в Османскую империю, в Стамбул, где научная деятельность продолжается ещё одно столетие и заканчивается во второй половине XVI века. Его ученик Низам-ад-дин аль-Бирджанди продолжил его работы в Сефевидском государстве^[30].

В Османской империи своё влияние на упадок математики оказал конфликт с исламским духовенством, которое резко выступало против астрологии, неразрывно сопровождавшей поздние научные астрономические и математические исследования. Кроме того, Такиюддин аш-Шами (1526—1585) сделал ошибочное астрологическое предсказание относительно крупной кометы: вместо предсказанного благополучия и процветания в империи разразилась эпидемия чумы, унёсшая жизни многих видных деятелей^[31]. Обсерватория Такиюддина была разрушена в 1580 году, чтобы предотвратить её дальнейшее использование в астрологических целях и прекратить «пустую трату средств»^[28].

С эпохой европейского колониализма государства, в которых находились научные центры исламского мира, столкнулись со значительным сокращением доходов от торговли, инфляцией из-за колоссального притока драгоценных металлов из европейских колоний и усилившейся конкуренцией со стороны европейских держав. Сложившаяся научная традиция в исламском мире начала стремительно угасать^[32].

Хотя сочинения исламских математиков и их фундаментальные работы в области алгебры и алгебраической геометрии высоко ценились в эпоху Высокого и позднего Средневековья в Европе, к концу эпохи Возрождения отношение к ним изменилось^[33]. В Германии и Франции XVIII-XIX веков преобладал идеалогически предвзятый подход, согласно которому Восток и Запад противопоставлялись не как географические регионы, а как исторические сущности. Рационализм рассматривался как сущность Запада, в то время как романтическая тенденция «возвращения к Востоку», популярная среди французских философов, выражала критику науки и рационализма. Немецкая филология придала этому «научный» вид, распространив методы сравнительной грамматики на историю науки и создав иерархию культур. В рамках этой системы народы с арийскими языками признавались «благородными», а все остальные считались менее совершенными. Это привело к систематической маргинализации вклада арабоязычных ученых и утверждению евроцентризма в историографии XIX века^[34].

Западные историки XVIII и XIX века считали, что классическая наука и математика были уникальными явлениями Запада. Хотя некоторые математические достижения арабских ученых иногда признавались, их часто рассматривали как «внеисторические» или интегрированные только в той мере, в какой они способствовали науке, которая считалась по своей сути европейской. Эти достижения часто воспринимались как технические инновации в греческом наследии, а не как открытия совершенно новых ветвей математики. Впоследствии это привело к евроцентристскому взгляду среди большинства математиков и историков математики, проложившим прямую линию развития от греческой математики к современной западной математике, а достижения исламской математики остались без внимания и были частично забыты^[1][33].

В философской работе француза Эрнеста Ренана арабская математика представляется лишь отражением арийской, а именно «отражением Греции, скомбинированным с персидскими и индийскими влияниями». По мнению Пьера Дюгема, «арабская наука лишь воспроизводила учения, полученные от греческой науки». Арабские математические труды также критикуются за недостаток строгости и чрезмерное внимание к практическим приложениям и расчётам. Как писал Поль Таннери, арабская алгебра «ни в коей мере не превзошла уровень, достигнутый Диофантом». Западные математики, по их мнению, пошли по совершенно иному пути как в методах, так и в конечных целях, и «отличительной чертой западной науки, начиная с её греческих истоков и до современного возрождения, является соответствие строгим стандартам»^[35].

Такое восприятие арабской традиции тесно переплетается с господствующей в историографии дихотомией между «средневековым» и «современным», которая долгое время считалась ключевым инструментом периодизации истории математики. Она закрепилась в трудах классиков — от Монтюкла до Бурбаки. Они исходили из постулата о «возникновении современной математики» и допускали промежуточное понятие «математики Возрождения», которое, однако, скорее осложняло, чем проясняло картину. В результате исламская математика IX–XVI веков и достижения латинского мира XIII–XV веков оказывались либо на периферии, либо вовсе исключались из общей схемы^[36].

Хотя уже в конце XVIII века отдельные европейские мыслители, такие как Иоганн Готфрид Гердер, Иоганн Вольфганг фон Гёте, Курт Шпренгель и Александр фон Гумбольдт, признавали вклад исламской цивилизации в развитие наук, по-настоящему достижения исламских математиков были заново открыты западными историками математики только во второй половине XIX века. Монтюкла в своей всеобъемлющей «Истории математики» 1758 года ошибочно писал, что арабоязычные математики имели дело с уравнениями только второй степени — эта позиция долгое время оставалась общепринятой в европейском научном сообществе, однако в 1851 году Франц Вёпке в своей диссертации по «Алгебре» Омара Хайяма опроверг это утверждение. Он опубликовал переводы ранее неизвестных математических рукописей, таких как «Алгебра» аль-Караджи. Вместе с Жан Жаком Седийо, Луи-Пьер-Эженом Седийо, а также Жозефом Туссеном Рено он считается основателем научно-исторических исследований исламской математики. Эйльхард Видеманн в своих многочисленных работах занимался историей арабоязычных наук, особенно астрономии и математики, на которой она основана. В 1927 году в своём «Введении в историю науки» Джордж Сартон окончательно преодолел европоцентристскую точку зрения и сформировал современное понимание важной роли арабоязычной науки в сохранении и независимом дальнейшем развитии древних знаний^[37].

В 1993 году Виктор Джозеф Кац писал: «Полную историю математики средневекового ислама пока невозможно написать, поскольку многие из этих арабских рукописей остаются неизученными»^[38]. Однако современные историки математики, такие как Рошди Рашед, Джон Леннарт Берггрен и Ян Хогендейк, интенсивно занимаются математикой периода исламского расцвета, так что на сегодняшний день существует более полная и ясная картина научного прогресса той эпохи^[33].

В современных научных работах существует расхождение в именовании математики средневекового исламского мира. Некоторые исследователи называют её «исламской математикой» — большинство математиков в этот период исламской цивилизации были мусульманами, тогда как другие называют её «арабской математикой», подчёркивая, что арабский язык был универсальным языком науки, на котором писали свои труды учёные самых разных национальностей^[7][8].

Числовая система в исламском мире прошла значительное развитие, начиная с использования буквенной абджадии и внедрения десятичной позиционной системы в VIII веке. Математики исламского мира, такие как аль-Махани и Абу Камил, переосмыслили древнегреческие представления о числах и величинах. Они развили арифметический подход к работе с иррациональными числами, отказавшись от греческого подхода, основанного на геометрии. Омар Хайям теоретически обосновал расширение понятия числа до положительных действительных чисел. Аль-Самуал сформулировал общие правила работы с отрицательными числами и использовал их для деления многочленов.

Дроби в исламской математике, в отличие от древнегреческой, считались полноценными числами. Именно в исламском мире берут своё начало горизонтальная черта в записи дробей, а также десятичные дроби. В странах ислама использовались различные системы счёта. Пальцевый счёт был популярен в торговле. Шестидесятеричная система счисления, унаследованная от вавилонян, применялась в астрономии. Аль-Бируни в 1000 году впервые разделил час на минуты, секунды и терции. Десятичная позиционная система была популяризирована аль-Хорезми в IX веке. Его книга «Об индийском счёте» способствовала распространению этой системы в Халифате и позже в Европе. Аль-Уклидиси в X веке адаптировал методы вычислений для работы на бумаге. Эти достижения сыграли важную роль в дальнейшем развитии алгебры и других математических дисциплин.

Алгебра зародилась в IX веке благодаря труду аль-Хорезми, который представил новый математический подход в своей книге «Краткая книга об исчислении путем восполнения и уравновешивания». В отличие от предыдущих арифметических традиций, его работа заложила основы систематического изучения уравнений, используя абстрактные алгебраические термины. Это стало значительным отходом от греческой математики, ориентированной на геометрию, и позволило рассматривать числа и геометрические величины как единые алгебраические объекты. Новая концепция открыла дорогу дальнейшему развитию математики и её применению в различных сферах.

Основное внимание аль-Хорезми уделил линейным и квадратным уравнениям, разработав методы их решения и доказав правило для уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$. В его время отрицательные коэффициенты не применялись, и только в XVI веке Михаэль Штифель расширил их использование. Подход аль-Хорезми отличался от методов Диофанта, так как он стремился к общим принципам, а не решению частных задач. Благодаря нему алгебра стала самостоятельной дисциплиной, а не просто набором вычислительных приемов.

Перевод книги аль-Хорезми на латынь в XII веке способствовал распространению алгебры в Европе. Его методы оказались удобными для решения числовых и геометрических задач, что помогло развитию математики эпохи Возрождения. Само слово «алгебра» произошло от арабского «аль-джабр», означающего «восполнение». Позже идеи аль-Хорезми развили Абу Камил и аль-Караджи, которые расширили алгебру на иррациональные числа и систематизировали операции с многочленами, заложив основу будущей символьной алгебры.

В XII–XIII веках Омар Хайям разработал геометрический метод решения кубических уравнений, а Шараф ад-Дин ат-Туси заложил основы метода аппроксимации корней. Со временем алгебра эволюционировала к символической форме, используемой сегодня, что прослеживается в трудах Ибн аль-Банны и аль-Каласади. Таким образом, исламская математика сыграла ключевую роль в формировании алгебры как науки, обеспечив её дальнейшее развитие в Европе и во всем мире. Она заложила основу для достижений в различных областях математики, включая теорию чисел, вычислительную математику и диофантовы уравнения^[39].

Развитие теории чисел в исламском мире началось с VIII века и сыграло важную роль в истории математики. Учёные исламской цивилизации не только унаследовали знания античности, но и заложили основы многих направлений современной теории чисел. Их интерес к числам был не только практическим, но и философским: числа воспринимались как проявление божественного порядка, отражающего устройство мира. Числовые исследования сопровождались глубокими размышлениями о природе чисел, что способствовало синтезу науки, философии и религии.

Философские и числовые идеи ярко проявились в трудах Братьев чистоты, которые связывали числа с метафизикой и теологией. Они интерпретировали монотеизм через число один, а устройство космоса — через возрастающую последовательность натуральных чисел, подчеркивая, что всё сущее исходит от Бога, как числа от единицы. Их подход был близок к пифагорейской традиции, но с акцентом на исламскую философию. Арифметика, по их мнению, выражала природу разума, а числа служили средством познания.

Практические достижения исламских математиков включали значительный вклад в изучение дружественных и совершенных чисел. Сабит ибн Курра разработал формулу генерации дружественных пар, опередив открытия европейской науки на многие столетия. Камал ад-Дин аль-Фариси, Ибн аль-Банна и Мухаммад Бакир Язди продолжили эту линию, изучая такие числа и находя новые пары. Исламские математики также углубили понимание совершенных чисел, выдвигая гипотезы и формулируя новые теоремы.

Теоретико-числовые методы, разработанные в исламском мире, стали основой для дальнейшего развития математики. Аль-Хазин предложил факторизацию как метод решения диофантовых уравнений, а аль-Худжанди ещё в X веке пытался доказать случай Великой теоремы Ферма для ${\displaystyle n=3}$. Аль-Караджи впервые применил математическую индукцию для доказательства тождеств, а аль-Самуал развил этот метод. Также разрабатывались оригинальные концепции, такие как равновесные числа, продолжая античные идеи и углубляя теоретические представления о свойствах делителей и симметрии в числах.

Среди ключевых задач, решаемых с помощью тригонометрии в исламском мире, были вычисление времени, предсказание астрономических явлений, определение географических координат и направления на Мекку. Особенно активно развивалась сферическая тригонометрия, которая применялась в астрономии и геодезии. В исламском мире были разработаны новые теоремы и методы, позволившие значительно повысить точность расчётов. Именно исламские учёные превратили тригонометрию из вспомогательного инструмента астрономии в самостоятельную науку.

В IX веке Хабаш аль-Хасиб и Мухаммад аль-Баттани дополнили индийские функции синуса и косинуса новыми: тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом. Первоначально они определялись через длины теней от гномонов, но к X веку аль-Фараби связал их с синусами и косинусами, а аль-Баттани сформулировал основные соотношения. Окончательное определение функций через единичную окружность дал Абу-ль-Вафа. В этот же период были доказаны важные тригонометрические теоремы, включая теорему синусов, которая позволила заменить в астрономических расчётах греческую теорему Менелая.

Ибн Ирак в X веке впервые описал полярный треугольник. Ибн Юнус открыл формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, что значительно облегчало вычисления. Тригонометрические таблицы с высокой точностью составляли аль-Хорезми, аль-Баттани, Ибн Юнус, аль-Каши, который в XV веке рассчитал ${\displaystyle \sin 1^{\circ }}$ с рекордной точностью 18 знаков после запятой в десятичной форме, и Такиюддин аш-Шами, который в XVI веке впервые использовал десятичные дроби для составления тригонометрических таблиц^[40].

В XI веке аль-Бируни систематизировал тригонометрию в своих трудах, разрабатывая методы нахождения углов и расстояний, а также уже приблизительно вычислил радиус Земли. Ибн Муаз аль-Джайяни написал первый известный трактат по сферической тригонометрии^[41]. Завершил формирование тригонометрии как науки Насир ад-Дин ат-Туси в XIII веке, изложив её в систематическом виде и разработав методы решения сложных сферических задач. К этому времени были открыты все основные тригонометрические теоремы.

Исаак Ньютон создал свою версию исчисления в 1665–1670 годах. Разрабатывая степенные ряды для представления функций, он использовал уже известную формулу интегрирования степенной функции — одну из центральных идей того, что впоследствии стало математическим анализом. Ньютон не знал, что эта формула была известна уже сотни лет в другой части света. Она была открыта в Египте около 1000 года Ибн аль-Хайсамом и позднее встречалась в работах других исламских авторов^[42].

Формула суммы квадратов была разработана Архимедом в 250 году до н. э., суммы кубов — Ариабхатой около 500 года н.э. Формула для квадратов проста, для кубов – очевидна при проведении экспериментов, однако формула для суммы четвертых степеней совсем неочевидна. Ибн аль-Хайсам первым вывел эту формулу, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Фактически он уже применял интегрирование многочленов для вычисления объёмов, однако его не интересовали многочлены выше четвёртой степени^[43].

Таким образом, некоторые основные идеи математического анализа были известны в исламском мире задолго до Ньютона и Лейбница. Однако исламские математики не объединили разрозненные идеи, относящиеся к математическому анализу, а использовали их только в отдельных случаях. Поэтому Ньютон и Лейбниц по праву считаются его создателями^[44].

Арабский филолог Халиль ибн Ахмад аль-Фарахиди первым обратил внимание на возможность использования стандартных фраз открытого текста для дешифрования. Он предположил, что первыми словами в письме на греческом языке византийскому императору будут «Во имя Аллаха», что позволило ему прочитать оставшуюся часть сообщения. Позже он написал «Книгу тайного языка» с описанием этого метода^[45].

Книга математика аль-Кинди под названием «Трактат о дешифровке криптографических сообщений» положила начало криптоанализу, стала самым ранним известным применением статистического вывода^[46] и представила несколько новых методов взлома шифров, в частности частотный анализ^[47][48]. В 855 году выходит «Книга о большом стремлении человека разгадать загадки древней письменности» арабского учёного Ибн Вахшии, одна из первых книг о криптографии с описаниями нескольких шифров, в том числе с применением нескольких алфавитов^[49].

Тюркский учёный Сули в X веке написал книгу «Руководство для секретарей», где изложил инструкции по шифрованию записей о налогах, что подтверждает распространение криптографии в обычной гражданской жизни^[49]. Ибн Адлан и Ибн ад-Дурайхим развили труды аль-Кинди.

Египетский полимат аль-Калкашанди в 1412 году опубликовал первый в истории труд по криптологии, объединив одновременно криптографию и криптоанализ. В своём труде «Субх аль-аша» он впервые описал методы шифрования, включая подстановку, перестановку и полиалфавитный шифр, где одной букве соответствует несколько вариантов замены. Он также предложил новые методы криптоанализа, такие как использование таблиц частотности букв и анализ невозможных сочетаний букв^[50][51].

В словарь криптологии арабоязычные авторы внесли такие понятия, как алгоритм и шифр^[52][53].

• 
  Гравюра идеального компаса Абу Сахля аль-Кухи для рисования конического сечения.
• 
  Теорема ибн аль-Хайсама из «Книги оптики»

• Астрономия исламского Средневековья
• Исламский вклад в Европейскую цивилизацию
• Мусульманские изобретения

• Berggren, J.L. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. — Springer New York, 2016. — ISBN 978-1-4939-3778-3. — doi:10.1007/978-1-4939-3780-6.
• Rashed, Roshdi (Июнь 1989). Problems of the Transmission of Greek Scientific Thought into Arabic: Examples from Mathematics and Optics. History of Science. 27 (2): 201–208. Bibcode:1989HisSc..27..199R. doi:10.1177/007327538902700204. ISSN 0073-2753. S2CID 118291424.
• Bsoul, Labeeb Ahmed. Translation Movement and Acculturation in the Medieval Islamic World. — Springer, 2019. — ISBN 9783030217037.
• Rashed, Roshdi. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. — Dordrecht: Springer Netherlands, 1994. — (Boston Studies in the Philosophy of Science). — ISBN 978-90-481-4338-2, 978-94-017-3274-1.
• Kunitzsch, Paul. The Arabic Translations of Ptolemy's Almagest (англ.). qdl.qa (31 июля 2018).
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. (1965)  (рус.). ilib.mccme.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Матвиевская, Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке : [рус.]. — Fan, 1967.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). Вступительная статья Г. П. Матвиевской, Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, М.: Наука, 1983.  (рус.) naturalhistory.narod.ru. Дата обращения: 12 января 2019.
• Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
• Hogendijk, Jan. Bibliography of Mathematics in Medieval Islamic Civilization  (1999). Дата обращения: 12 января 2019.
• Fuat Sezgin. Wissenschaft und Technik im Islam. — Frankfurt: Institute fur Geschichte d. Arabisch-Islamischen Wissenschaft, 2003. — Т. I. — ISBN 3-8298-0067-3.
• Luke Howard Hodgkin. A history of mathematics: from Mesopotamia to modernity. — Oxford: Oxford university press, 2005. — ISBN 978-0-19-852937-8.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.
• Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. — HarperCollins college publishers, 1993. — ISBN 0-673-38039-4.
• Katz, Victor J. (1995). Ideas of Calculus in Islam and India. Mathematics Magazine. 68 (3): 163–74. doi:10.2307/2691411. JSTOR 2691411.
• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // Annals of the New York Academy of Sciences : journal. — 1987. — Vol. 500. — doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.
• Philip K. Hitti. History of the Arabs: from the earliest times to the present. — Rev. 10th ed. — New York, NY: Palgrave Macmillan, 2002. — 822 с. — ISBN 978-0-333-63142-3.
• Rashed, Roshdi. The end matters.  The Free Library (1 июня 2003). Дата обращения: 3 октября 2025.

• Ал-Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перевод Б. А. Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича. Комментарии А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М., 1956.
• Ал-Хорезми. Математические трактаты. Перевод Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда. Комментарии Б. А. Розенфельда. Ташкент, 1964.
• Бируни. Памятники минувших поколений. Избранные произведения, т. 1. Перевод примечания М. А. Салье. Ташкент, 1957.
• Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Перевод под редакцией Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда. Баку, 1952.
• Хаййам. Трактаты. Перевод Б. А Розенфельда. Редакция В. С. Сегаля п А. П. Юшкевича. М., 1962.
• Ибн ал-Хайсам. Трактат об изопериметрических фигурах. Перевод и примечания Дж. ад-Даббаха. // Историко-математические исследования, 1966, т. XVII, 399—448.
• Ибн Корра. Книга о том, что две линии, проведенные под углом, меньшим двух прямых, встречаются. Перевод и примечания Б. А. Розенфельда. // Историко-математические исследования, 1963, т. XV. 363—380.

• O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick. Arabic mathematics : forgotten brilliance?  Maths History. Дата обращения: 4 октября 2025.

• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.