Асимптота

Аси́мптота, или асимпто́та^[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся) кривой с бесконечной ветвью, — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед^[3].

Прямая вида ${\displaystyle x=a}$ является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }$.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке ${\displaystyle a}$. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Наклонная асимптота — прямая вида ${\displaystyle y=kx+b}$, если выполняется хотя бы одно из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b}$.

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при ${\displaystyle x\to +\infty }$, а если второе, то асимптотой при ${\displaystyle x\to -\infty }$^[4].

Если ${\displaystyle k=0}$, то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при ${\displaystyle x\to +\infty }$ и одна при ${\displaystyle x\to -\infty }$; но асимптота может быть и одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности^[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности^[5].

Обыкновенная асимптота имеет с кривой на бесконечности касание первого порядка, оскулирующая асимптота — касание второго порядка. Эти асимптоты кубик отличаются друг от друга следующими свойствами^[6]:

• обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке;
• оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.

1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть ${\displaystyle \pm \infty }$).
2. Проверка, не являются ли конечными пределы ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}$ и${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b}$. Если да, то существует горизонтальная асимптота ${\displaystyle y=b}$ при ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ соответственно.
3. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k}$
4. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b}$.

Если хотя бы один из пределов в пунктах 3 или 4 не существует (или равен ${\displaystyle \pm \infty }$), то наклонной асимптоты при ${\displaystyle x\to +\infty }$ (или ${\displaystyle x\to -\infty }$) не существует.

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}}$.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: ${\displaystyle f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}}$.

При ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, ${\displaystyle {\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0}$,

и ${\displaystyle y=2x+5}$ является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

• Среди невырожденных конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости^[7]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

• Асимптотическая кривая

• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций: Справочник (рус.). — Киев: Наук. думка, 1979. — 320 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (рус.). — 4-е изд. — М., 1956.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка (рус.). — М.: Физматлит, 1961. — 271 с.

• Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Асимптота / Позняк Э. Г. // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).