Восьмиугольная мозаика порядка 4
| Восьмиугольная мозаика порядка 4 | |
|---|---|
| |
| Тип | Правильная гиперболическая мозаика |
| Конфигурация вершины | 84 |
| Символ Шлефли | {8,4} r{8,8} |
| Символ Витхоффа | 4 | 8 2 |
| Симметрии | [8,4], (*842) [8,8], (*882) |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |     или  
|
| Двойственные соты | Квадратная мозаика порядка 8 |
| Свойства | Изогональная, изотоксальная, изоэдральная |
Восьмиугольная мозаика порядка 4 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика представлена символом Шлефли {8,4}. Её шахматная раскраска может быть названа восьми-восьмиугольной мозаикой и её смвол Шлефли r{8,8}.
Однородные построения
Имеется четыре однородных построения этой мозаики. Три из них осуществляются удалением зеркала из калейдоскопа [8,8] . Удаление зеркала между точками порядка 2 и 4 даёт [8,8,1+] с симметрией [(8,8,4)] (*884). Удаление двух зеркал оставляет симметрию *4444.
| Однородная раскраска |
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|
| Симметрия | [8,4] (*842)   
|
[8,8] (*882)  =
|
[(8,4,8)] = [8,8,1+] (*884) =  
|
[1+,8,8,1+] (*4444)   =
|
| Символ | {8,4} | r{8,8} | r(8,4,8) = r{8,8}1⁄2 | r{8,4}1⁄8 = r{8,8}1⁄4 |
| Диаграмма Коксетера |
|
|
= 
|
=  = =
|
Симметрия
Эта мозаика представляет гиперболический калейдоскоп из 8 зеркал, находящихся на краях правильного шестиугольника. Эта симметрия в орбифолдной нотации есть (*22222222) или (*28) с 8 пересечениями зеркал порядка 2. В нотации Коксетер мозаика может быть представлена как [8*,4], которая получается удалением двух зеркал (проходящих череpез центр восьмиугольника) в симметрии [8,4]. Добавление зеркала, проходящего через 2 вершины восьмиугольной фундаментальной области определяет трапецоэдральную симметрию *4422. Добавление 4 зеркал, проходящих через вершины, определяет симметрию *444. Добавление 4 зеркал, проходящих через стороны, определяет симметрию *4222. Добавление всех 8 зеркал приводит полной симметрии *842.
 *444 |
 *4222 |
 *832 |
Фундаментальную область калейдоскопа можно рассматривать как двухцветную восьмиугольную мозаику, представлющую зеркальные образы фундаментальной области. Эта раскраска представляет однородную квазиправильную мозаику r{8,8}, которую можно назвать восьми-восьмигональной мозаикой.
|
|
Связанные многогранники и мозаики
Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных мозаик с восмиугольными гранями.
Последовательность начинается с восьмиугольной мозаики, имеющей символ Шлефли {8,n} и
диаграмму Коксетера 
, и уходит в бесконечность.
| Варианты симметрии *n42 правильных мозаик {n,4} | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Евклидовы | Гиперболические мозаики | |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | ...∞4 |
| Правильные мозаики {n,8} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Гиперболические мозаики | ||||||||||
 {2,8} 
|
 {3,8} 
|
 {4,8}
|
 {5,8} 
|
 {6,8} 
|
 {7,8} 
|
 {8,8}
|
... |  {∞,8} 
| |||
Эта мозаика также топологически является частью последдовательности правильных многогранников и мозаик с четырьмя гранями в вершине.
Последовательность начинаетс с октаэдра, имеет символ Шлефли {n,4} и диаграмму Коксетера
и распространяется на бесконечность.
 {3,4}
|
{4,4}
|
 {5,4}
|
 {6,4}
|
 {7,4}
|
 {8,4}
|
... | {∞,4}
|
| Однородные восьмиугольные/квадратные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (with [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) index 2 subsymmetries) (и подсимметрия [(∞,4,∞,4)] (*4242) ) | |||||||||||
=  =  =
|
=
|
= =  =
|
=
|
=  =
|
=
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| {8,4} | t{8,4} |
r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| Однордные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V84 | V4.16.16 | V(4.8)2 | V8.8.8 | V48 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
| Альтернированные | |||||||||||
| [1+,8,4] (*444) |
[8+,4] (8*2) |
[8,1+,4] (*4222) |
[8,4+] (4*4) |
[8,4,1+] (*882) |
[(8,4,2+)] (2*42) |
[8,4]+ (842) | |||||
 = 
|
 = 
|
=  
|
= 
|
= 
|
=
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| Альтернированные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
| V(4.4)4 | V3.(3.8)2 | V(4.4.4)2 | V(3.4)3 | V88 | V4.44 | V3.3.4.3.8 | |||||
| Однородные восьмивосьмиугольные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [8,8], (*882) | |||||||||||
=   =
|
= =
|
= =
|
=  =
|
= =
|
= =
|
= =
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| {8,8} | t{8,8} |
r{8,8} | 2t{8,8}=t{8,8} | 2r{8,8}={8,8} | rr{8,8} | tr{8,8} | |||||
| Однородные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V88 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V88 | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
| Альтернированные | |||||||||||
| [1+,8,8] (*884) |
[8+,8] (8*4) |
[8,1+,8] (*4242) |
[8,8+] (8*4) |
[8,8,1+] (*884) |
[(8,8,2+)] (2*44) |
[8,8]+ (882) | |||||
| =
|
|
=
|
|
= 
|
= =
|
= =
| |||||
|
|
|
|
| |||||||
| h{8,8} | s{8,8} | hr{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | hrr{8,8} | sr{8,8} | |||||
| Альтернативные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
||||||||||
| V(4.8)8 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.4)4 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.8)8 | V46 | V3.3.8.3.8 | |||||
См. также
- Квадратный паркет
- Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
- Список однородных мозаик на плоскости
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch