Разложение простых идеалов в расширениях Галуа

Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов ${\displaystyle P}$ кольца целых ${\displaystyle O_{K}}$ поля алгебраических чисел ${\displaystyle K}$ в кольце целых ${\displaystyle O_{L}}$ расширении Галуа ${\displaystyle L/K}$ с группой Галуа ${\displaystyle G}$. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.

Пусть ${\displaystyle L/K}$ — конечное расширение числового поля, а ${\displaystyle O_{K}}$ и ${\displaystyle O_{L}}$ — кольца целых чисел ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ соответственно.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}}$

Наконец, пусть ${\displaystyle P}$ является ненулевым простым идеалом в ${\displaystyle O_{K}}$ или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо ${\displaystyle O_{K}/P}$ — поле.

Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}},}$

где ${\displaystyle P_{j}}$ — различные максимальные идеалы, а ${\displaystyle e_{j}\geqslant 1}$ — их кратность.

Поле ${\displaystyle F=O_{K}/P}$ естественно вкладывается в ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}}$ для каждого ${\displaystyle j}$, степень ${\displaystyle f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]}$ этого расширения поля вычетов называется степенью инерции ${\displaystyle P_{j}}$ над ${\displaystyle P}$.

Показатель ${\displaystyle e_{j}}$ называется индексом ветвления ${\displaystyle P_{j}}$ над ${\displaystyle P}$. Если ${\displaystyle e_{j}>1}$ для некоторого ${\displaystyle j}$, то расширение ${\displaystyle L/K}$ называется разветвленным в ${\displaystyle P}$ (или мы говорим, что ${\displaystyle P}$ разветвляется в ${\displaystyle L}$). В противном случае ${\displaystyle L/K}$ называется неразветвленным в ${\displaystyle P}$. Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор ${\displaystyle O_{L}/P}$ является произведением полей ${\displaystyle F_{j}}$. ${\displaystyle P}$ разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.

Из мультипликативности нормы идеала вытекает

${\displaystyle [L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.}$

Если ${\displaystyle f_{j}=e_{j}}$ для всех ${\displaystyle j}$ (и, следовательно, ${\displaystyle g=[L:K]}$), то говорим, что ${\displaystyle P}$ полностью разлагается в ${\displaystyle L}$. Если ${\displaystyle g=1}$ и ${\displaystyle f_{1}=1}$ (и поэтому ${\displaystyle e_{1}=[L:K]}$), мы говорим, что ${\displaystyle P}$ полностью разветвляется в ${\displaystyle L}$. Наконец, если ${\displaystyle g=1}$ и ${\displaystyle e_{1}=1}$ (и поэтому ${\displaystyle f_{1}=[L:K]}$), мы говорим, что ${\displaystyle P}$ инертен в ${\displaystyle L}$.

Пусть ${\displaystyle L/K}$ является расширением Галуа. Тогда группа Галуа ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ действует транзитивно на ${\displaystyle P_{j}}$. То есть простые идеальные множители в разложении ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle L}$ образуют единую орбиту при действии автоморфизма ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K}$. Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что ${\displaystyle f=f_{j}}$ и ${\displaystyle e=e_{j}}$ не зависят от ${\displaystyle j}$. Тогда полученные соотношения принимают вид

${\displaystyle P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$.

и

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

Отсюда следует, что ${\displaystyle [L:K]/ef=g}$ — числу простых коэффициентов ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle O_{L}}$. По формуле числа элементов в орбите ${\displaystyle g=|G|/|D_{P_{j}}|}$ для всех ${\displaystyle j}$, где ${\displaystyle D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}}$ — стабилизатор ${\displaystyle P_{j}}$, называемый группой разложения идеала ${\displaystyle P_{j}}$. Так как ${\displaystyle [L:K]=|G|}$ по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения ${\displaystyle |D_{P_{j}}|=ef}$ для всех ${\displaystyle j}$.

Группа разложения содержит нормальную подгруппу ${\displaystyle I_{P_{j}}}$, называемую группой инерции ${\displaystyle P_{j}}$, состоящую из автоморфизмов ${\displaystyle L/K}$, которые индуцируют тождественный автоморфизм на ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}}$. Другими словами, ${\displaystyle I_{P_{j}}}$ является ядром редукционного отображения ${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$. Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}}$ и ${\displaystyle |I_{P_{j}}|=e}$.

Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент ${\displaystyle D_{P_{j}}/I_{P_{j}}}$ для данного ${\displaystyle j}$, что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля ${\displaystyle F_{j}/F}$. В неразветвленном случае порядок ${\displaystyle |D_{P_{j}}|=f}$ и ${\displaystyle I_{P_{j}}}$ тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом ${\displaystyle D_{P_{j}}}$ (и, следовательно, также элемент из ${\displaystyle G}$).

Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.

В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$. То есть мы берем ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (i)}$, поэтому ${\displaystyle O_{K}=\mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle O_{L}=\mathbb {Z} [i]}$ — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.

Обозначим ${\displaystyle G}$ — группа Галуа ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$, ${\displaystyle G=\{1,\sigma \}}$, где ${\displaystyle \sigma }$ — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.

Простое 2 в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ разветвляется ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$:

${\displaystyle (2)=((1+i)^{2})}$

Индекс ветвления ${\displaystyle e=2}$. Поле вычетов здесь равно

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2}}$

— конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения ${\displaystyle D_{(1+i)}=G}$, так как существует только одно из чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ выше 2. Группа инерции ${\displaystyle I_{1+i}=G}$, так как

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i}}}$

для всех целых ${\displaystyle a,b}$

На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, который равен ${\displaystyle -4}$.

Любое простое ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ разлагается в произведение двух различных простых идеалов в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2}}$

Обе группы разложения в этом случае тривиальны: ${\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\}}$, поскольку автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ переставляет ${\displaystyle (2+3i)}$ и ${\displaystyle (2-3i)}$, поэтому ${\displaystyle \sigma \not \in G_{2\pm 3i}}$. Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,}$

которые изоморфны ${\displaystyle \mathbb {F} _{13}}$. Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i}}}$

для всех ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$

Любое простое ${\displaystyle p:p\equiv 3{\pmod {4}}}$, например ${\displaystyle 7}$, остается простым, инертным, в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения ${\displaystyle G_{7}=G}$, потому что ${\displaystyle \sigma (7)=7}$. Однако эта ситуация отличается от случая ${\displaystyle p=2}$, потому что теперь ${\displaystyle \sigma }$ не действует тривиально на поле вычетов ${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2}}}$. Например, ${\displaystyle 1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}}$. Следовательно, группа инерции тривиальна: ${\displaystyle I_{7}=\{1\}}$. Группа Галуа ${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}}$ над подполем ${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$ имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как ${\displaystyle \sigma }$ это значит, что

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

для всех ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$

Простое в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Как разлагается в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$	Группа инерции	Группа разложения
${\displaystyle p=2}$	Разветвляется с индексом 2	${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$
${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$	Разлагается на 2 различных простых множителя	${\displaystyle \{1\}}$	${\displaystyle \{1\}}$
${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$	Инертно, остается простым	${\displaystyle \{1\}}$	${\displaystyle G}$

Предположим, что мы хотим разложить простой идеал ${\displaystyle P}$ кольца ${\displaystyle O_{K}}$ в простые идеалы кольца ${\displaystyle O_{L}}$. Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число ${\displaystyle \theta \in O_{L}}$, такое что ${\displaystyle L=K(\theta )}$ (такое ${\displaystyle \theta }$ существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен ${\displaystyle H(X)}$ элемента ${\displaystyle \theta }$ над ${\displaystyle K}$. Редуцируя коэффициенты ${\displaystyle H(X)}$ по модулю ${\displaystyle P}$, получим многочлен ${\displaystyle h(X)}$ с коэффициентами из конечного поля ${\displaystyle F=O_{K}/P}$. Предположим, что ${\displaystyle h(X)}$ факторизуется в полиномиальном кольце ${\displaystyle F[X]}$ как

${\displaystyle h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},}$

где ${\displaystyle h_{j}}$ — различные неприводимые многочлены в ${\displaystyle F[X]}$. Тогда, если ${\displaystyle P}$ не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение ${\displaystyle P}$ имеет следующий вид:

${\displaystyle PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},}$

где ${\displaystyle Q_{j}}$ — различные простые идеалы ${\displaystyle O_{L}}$. Кроме того, степень инерции каждого ${\displaystyle Q_{j}}$ равна степени соответствующего многочлена ${\displaystyle h_{j}}$, и существует явная формула для ${\displaystyle Q_{j}}$:

${\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},}$

где ${\displaystyle h_{j}}$ обозначает здесь подъём многочлена ${\displaystyle h_{j}}$ в ${\displaystyle K[X]}$.

В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления ${\displaystyle e_{1}=...=e_{n}}$.

Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца ${\displaystyle O_{K}[\theta ]}$. Кондуктор определяется как идеал

${\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};}$

он измеряет, насколько порядок ${\displaystyle O_{K}[\theta ]}$ является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) ${\displaystyle O_{L}}$.

Существенным препятствием является то, что существуют такие ${\displaystyle L/K}$ и ${\displaystyle P}$, для которых нет ${\displaystyle \theta }$, удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,^[1]). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого ${\displaystyle P}$, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.^[2]

Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем ${\displaystyle \theta =i}$ — мнимую единицу ${\displaystyle H(X)=X^{2}+1}$. Так как ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ — кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$, кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.

Для ${\displaystyle P=(2)}$ нам нужно работать в поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, что сводится к разложению многочлена ${\displaystyle X^{2}+1}$ по модулю 2:

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой

${\displaystyle Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].}$

Следующий случай для ${\displaystyle P=(p)}$ для простого ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$. Например, возьмем ${\displaystyle P=(7)}$. Многочлен ${\displaystyle X^{2}+1}$ неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой

${\displaystyle Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].}$

Последний случай — ${\displaystyle P=(p)}$ для простого ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$; мы снова возьмем ${\displaystyle P=(13)}$. На этот раз мы имеем разложение

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]}$

and

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i].}$

• PlanetMath, Splitting and ramification in number fields and Galois extensions
• William Stein, A brief introduction to classical and adelic algebraic number theory

• Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.