Двадцатичетырёхъячейниковые соты

Двадцатичетырёхъячейниковые соты
24-ячейник и первый уровень смежных 24-ячейников.
Тип	Правильные соты в четырёхмерном пространстве Однродные соты в четырёхмерном пространстве
Символ Шлефли	{3,4,3,3} r{3,3,4,3} 2r{4,3,3,4} 2r{4,3,3^1,1} {3^1,1,1,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Тип тела	{3,4,3}
Тип ячейки	{3,4}
Тип грани	{3}
Рёберная фигура	{3,3}
Вершинная фигура	{4,3,3}
Двойственные соты	{3,3,4,3}
Группы Коксетера	${\tilde {F}}_{4}$ , [3,4,3,3] ${\tilde {C}}_{4}$ , [4,3,3,4] ${\tilde {B}}_{4}$ , [4,3,3^1,1] ${\tilde {D}}_{4}$ , [3^1,1,1,1]
Свойства	правильные

Двадцатичетырёхъячейниковые соты — это правильное заполняющее пространство замощение (соты) четырёхмерного евклидова пространства правильными двадцатичетырёхъячейниками (24-ячейниками). Соты могут быть представлены символом Шлефли {3,4,3,3}. Для краткости будем в дальнейшем вместо двадцатичетырёхъячейниковые соты использовать 24-соты.

Двойственное замощение правильными 16-ячейниковыми сотами имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Вместе с тессерактными сотами (сотами из четырёхмерных кубов) они являются единственными правильными замощениями в евклидовом четырёхмерном пространстве.

Координаты

24-соты могут быть построены как диаграмма Вороного D₄ или решётки симметрии F₄. Каждый 24-ячейник затем центрируется в точке решётки D₄, то есть в одной из

\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

Эти точки могут быть описаны как кватернионы Гурвица с чётной квадратной нормой.

Вершины сот лежат в глубоких пустотах решётки D₄. Они являются кватернионами Гурвица с нечётной квадратной нормой.

Соты могут быть построены как биспрямлённые тессерактные соты, если взять тессерактные соты и разместить вершины в центрах всех квадратных граней. Фасеты 24-ячейника находятся между этими вершинами как спрямлённые 16-ячейники. Если координатами тессерактных сот являются целые (i,j,k,l), вершины биспрямлённых тессерактных сот можно расположить на всех перестановках половинных сдвигов в двух из четырёх размерностей, то есть, (i+1/2,j+1/2,k,l), (i+1/2,j,k+1/2,l), (i+1/2,j,k,l+1/2), (i,j+1/2,k+1/2,l), (i,j+1/2,k,l+1/2), (i,j,k+1/2,l+1/2).

Конфигурация

Каждый 24-ячейник имеет 24 соседних 24-ячейника. С каждым соседним 24-ячейником ячейка сот делит ровно одну октаэдральную (3-мерную) ячейку.

24-ячейник имеет кроме того ещё 24 соседних 24-ячейника, имеющих с ним одну общую вершину.

Ячейник не имеет соседей, имеющих с ним только общее ребро или общую грань.

Вершинная фигура 24-сот является тессерактом (4-мерным кубом). Таким образом, в каждой вершине сходятся 16 рёбер, 32 треугольника, 24 октаэдра и 8 24-ячейников. Рёберная фигура является тетраэдром, так что имеется 4 треугольника, 6 октаэдров и 4 24-ячейника вокруг каждого ребра. Наконец, фигурой грани является треугольник, так что имеется 3 октаэдра и 3 24-ячейника на каждой грани.

Сечения

Одним из способов представить визуально 4-мерное тело является различные 3-мерные сечения. То есть, пересечение различных гиперплоскостей с рассматриваевым телом. Применение этой техники к 24-сотам даёт различные трёхмерные соты с разной степенью правильности.

Вершинное сечение

Ромбододекаэдральные соты	Кубические соты
Ячейное сечение

Полноусечённые кубические соты	Дважды усечённые кубические соты

Вершинное сечение использует некую гиперплоскость, ортогональную отрезку, соединяющему две противоположные вершины 24-ячейника. Например, можно взять любую из координатных гиперплоскостей в приведённой выше координатной системе (то есть, плоскости, определённые выражением x_i = 0). Сечение сот {3,4,3,3} одной из этих гиперплоскостей даёт ромбододекаэдральные соты. Каждый из ромбододекаэдров соответствует максимальному сечению одного из 24-ячейников гиперплоскостью (центр каждого такого (4-мерного) 24-ячейника лежит на гиперплоскости). Соответственно, ромбододекаэдральные соты являются замощением Вороного решётки D₃ (гранецентрированной решётки). Сдвиг гиперплоскости наполовину к одной из вершин (например, x_i = 1/2) приводит к правильным кубическим сотам. В этом случае центр каждого 24-ячейника лежит на гиперплоскости. Сдвинув ещё, так что гиперплоскость окажется на вершине, получим другие ромбододекаэдральные соты, но с новыми 24-ячейниками (прежние ячейники схлопнутся до точек). В общем случае, для любого n сечение через x_i = n является ромбододекаэдральными сотами, а сечение через x_i = n + 1/2 является кубическими сотами. При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.

Ячейное сечение использует некую гиперплоскость, параллельную оной из октаэдральных ячеек 24-ячейника. Представим, например, гиперплоскость, перпендикулярную вектору (1,1,0,0). Сечение сот {3,4,3,3} этой гиперплоскостью является полноусечёнными кубическими сотами. Каждый кубооктаэдр в этих сотах является максимальным сечением 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости. Между тем, каждый октаэдр является граничной ячейкой (4-мерного) 24-ячейника, центр которого лежит на плоскости. Сдвигая гиперплоскость наполовину между центром 24-ячейника и границей получим дважды усечённые кубические соты. Кубооктаэдры уменьшаются в размерах, а октаэдры растут, пока оба не станут усечёнными октаэдрами. Сдвигая далее, так что гиперплоскость пересечёт границу центрального 24-ячейника, получим снова полноусечённые кубические соты, кубооктаэдры и октаэдры поменяются местами.

При движении гиперплоскости в 4-мерном пространстве сечение периодически меняется между этими двумя видами сот.

Контактное число

Если трёхмерная сфера вписана в каждую гиперячейку замощения, получающееся расположение является наиболее плотной ^[1] правильной упаковкой сфер в четырёхмерном пространстве с контактным числом 24. Плотность упаковки в этом расположении сфер равна

{\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685.

Каждая вписанная трёхмерная сфера касается 24 других в центрах октаэдральных ячеек этих 24-ячейников, поскольку каждая такая октаэдраальная грань является общей для смежных 24-ячейников. В замощении с единичной длиной рёбер диаметр сфер (расстояние между двумя центрами соприкасающихся сфер) равен √2.

Сразу за этой окружающей оболочкой из 24 касающихся 3-сфер находится другая менее плотная оболочка из 24 3-сфер, которые не касаются друг друга или центральной 3-сферы. Они вписаны в 24-ячейники, с которыми центральный 24-ячейник имеет только одну общую вершину (а не октаэдральную ячейку). Расстояние между центром одной их этих сфер и любого соседа из окружающей оболочки или центтральной сферы равно 2.

Альтернативно, такая же упаковка сфер с контактным числом 24 может быть получена с меньшими 3-сферами, если расположить их в центрах и вершинах 24-ячейников. (Это эквивалентно расположению их на вершинах 16-ячейниковых сот с единичной длиной ребра.) В этом случае центральная 3-сфера касается 24 других в центрах кубических фасет трёх тессерактов, вписанных в 24-ячейник.

Сразу за оболочкой из этих касающихся 3-сфер диаметра 1 находится другая менее плотная оболочка 24 не касающихся друг друга 3-сфер диаметра 1. Их центры находятся в смежных 24-ячейниках, с которыми центральный 24-ячейник имеет общие октаэдральные фасеты. Расстояние между центрами этих сфер и центрами соседей из оболочки или центральной сферы равно √2.

Построения симметрией

Имеется пять различных построения Витхоффа этого замощения как однородного политопа. Они геометрически идентичны правильной форме, но разница симметрий может быть представлена путём раскрашивания фасет 24-ячейника. Во всех случаях восемь 24-ячейников сходятся в одной вершине, но вершинные фигуры имеют различные генераторы симметрии.

Группа Коксетера	Символы Шлефли		Фасеты (24-ячейников)	Порядок симметрии вершинной фигуры
${\tilde {F}}_{4}$ = [3,4,3,3]	${\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}$	{3,4,3,3}	8:	384
${\tilde {F}}_{4}$ = [3,4,3,3]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4,3\end{array}}\right\}$	r{3,3,4,3}	6: 2:	96
${\tilde {C}}_{4}$ = [4,3,3,4]	$\left\{{\begin{array}{l}3,4\\3,4\end{array}}\right\}$	2r{4,3,3,4}	4,4:	64
${\tilde {B}}_{4}$ = [4,3,3^1,1]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3,4\end{array}}\right\}$	2r{4,3,3^1,1}	2,2: 4:	32
${\tilde {D}}_{4}$ = [3^1,1,1,1]	$\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$	{3^1,1,1,1}	2,2,2,2:	16

Смотрите также

Другие однородные соты в четырёхмерном пространстве:

Усечённые 5-ячейниковые соты
Всеусечённые 5-ячейниковые соты
Усечённые 24-ячейниковые соты
Полноусечённые 24-ячейниковые соты
Поосконосые 24-ячейниковые соты

Примечания

↑ Задача об упаковке сфер и задача о контактном числе чрезвычайно сложны и оптимальные решения известны только в размерностях 1, 2, 3, 8 и 24 (плюс размерность 4 для задачи о контактном числе).

Литература

H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — Third edition. — Dover edition, 1973. — С. 296 Table II: Regular honeycombs. — ISBN 0-486-61480-8i.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
George Olshevsky. Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs - Model 88 // Uniform Panoploid Tetracombs. — Manuscript, 2006.
Klitzing, Richard. Euclidean tilings|o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x - icot - O88

[1] Задача об упаковке сфер и задача о контактном числе чрезвычайно сложны и оптимальные решения известны только в размерностях 1, 2, 3, 8 и 24 (плюс размерность 4 для задачи о контактном числе).

[1]