Дифференцирование (алгебра)

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй соответственно.

Пусть ${\displaystyle A}$ — алгебра над кольцом ${\displaystyle R}$. Дифференцирование алгебры ${\displaystyle A}$ — это ${\displaystyle R}$-линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to A}$, удовлетворяющее тождеству Лейбница:

${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$

В более общем случае дифференцирование коммутативной ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle A}$-модуле ${\displaystyle M}$ — это ${\displaystyle R}$-линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to M}$, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае ${\displaystyle M}$ называют дифференциальным модулем над ${\displaystyle A}$ Множество всех дифференцирований со значениями в ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {D} (M)}$ (${\displaystyle \mathrm {Der} (M)}$, ${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$) и является ${\displaystyle A}$-модулем. Функтор ${\displaystyle \mathrm {D} }$ является представимым, его представляющий объект обозначается ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ или ${\displaystyle \Omega _{A/R}^{1}}$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов. ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над ${\displaystyle A}$, то есть существует такое дифференцирование ${\displaystyle d:A\to \Lambda ^{1}(A)}$, что любое дифференцирование ${\displaystyle \delta \in \mathrm {D} (M)}$ пропускается через ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle \exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d}$

${\displaystyle \mathrm {D} (A)}$ имеет естественную структуру алгебры Ли: ${\displaystyle \mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)}$.

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей, то для любого ${\displaystyle A}$-модуля ${\displaystyle M}$ выполнено:

${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M}$,

где ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)}$ — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$ является функтором из ${\displaystyle ({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)}$ в ${\displaystyle A-{\mathcal {M}}od}$.

Для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуированной алгебры ${\displaystyle A}$ с градуировкой элемента ${\displaystyle a\in A}$, обозначаемой ${\displaystyle |a|}$, аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями ${\displaystyle \mathrm {D} :A\to A}$ степени ${\displaystyle |\mathrm {D} |}$, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница (${\displaystyle \varepsilon =\pm }$):

${\displaystyle \mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)}$

Если ${\displaystyle \varepsilon =1}$, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если ${\displaystyle \varepsilon =-1}$, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

${\displaystyle [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}}$.

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.