Нейтральный элемент

Нейтральный элемент — элемент, который относительно заданной бинарной операции оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам: в магме ${\displaystyle (M,*)}$ элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle *}$ если ${\displaystyle x*e=e*x=x}$ для любых ${\displaystyle x\in M}$.

В случаях некоммутативных операций вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }*x=x}$ и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого ${\displaystyle x*e_{\mathrm {r} }=x}$ для любых ${\displaystyle x\in M}$. В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и правый нейтральный ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }*e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$).

Если бинарную операцию рассматривают как обобщение сложения («аддитивная нотация»), то нейтральный элемент обычно называют нулём, если умножения («мультипликативная нотация») — то единицей; обозначают их обычно соответственно ${\displaystyle \mathrm {0} }$ и ${\displaystyle \mathrm {1} }$. Например, в полях нулём называют нейтральный элемент по сложению, а единицей — нейтральный элемент по умножению. В порядках, решётках и подобных им структурах нейтральный элемент по взятию точной верхней грани часто обозначают ${\displaystyle \bot }$, а по взятию точной нижней грани — ${\displaystyle \top }$.

Магма с делением (то есть квазигруппа), оснащённая нейтральным элементом является лупой. Магма с ассоциативной операцией (то есть полугруппа) с нейтральным элементом — моноид. В кольце по определению всегда имеется нейтральный элемент по сложению — нуль, а в кольцах с единицей имеется также нейтральный элемент по умножению — единица.

Примеры:

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	${\displaystyle +}$ (сложение)	число 0
Вещественные числа	${\displaystyle \cdot }$ (умножение)	число 1
Вещественные числа	${\displaystyle -}$ (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	${\displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \div }$ (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	${\displaystyle +}$ (сложение векторов)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ (нуль-вектор)
Матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$	${\displaystyle +}$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle \times }$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида ${\displaystyle f:M\to M}$	${\displaystyle \circ }$ (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \min }$ (минимум) или ${\displaystyle \inf }$ (инфимум)	${\displaystyle +\infty }$
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \max }$ (максимум) или ${\displaystyle \sup }$ (супремум)	${\displaystyle -\infty }$
Подмножества множества ${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cap }$ (пересечение множеств)	${\displaystyle M}$
Множества	${\displaystyle \cup }$ (объединение множеств)	${\displaystyle \varnothing }$ (пустое множество)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \wedge }$ (конъюнкция)	${\displaystyle \top }$ (истина)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \lor }$ (дизъюнкция)	${\displaystyle \bot }$ (ложь)

• Weisstein, Eric W. Identity Element (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.