Третья краевая задача

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена и британского физика Исаака Ньютона.

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

${\displaystyle Lu=f(\mathbf {x} )}$ в области ${\displaystyle \Omega }$

При граничных условиях следующего вида:

${\displaystyle \left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )}$

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде ${\displaystyle -\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))}$ — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана^[1].
• Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде ${\displaystyle -\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))}$ (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
• Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи ${\displaystyle \mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E} }$, можно следующим образом^[2]:

${\displaystyle -\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0}$

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

• В методе конечных разностей строится разностная схема вида ${\displaystyle au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$, где ${\displaystyle R}$ — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
• В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части^[1]:

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx}}$ — добавка в ${\displaystyle i}$-й, ${\displaystyle j}$-й элемент матрицы;

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}}$ — добавка в ${\displaystyle i}$-й элемент правой части.

• Задача Дирихле
• Задача Неймана