Измеримое пространство

Измеримое пространство — это множество с выделенной системой подмножеств, представляющей собой алгебру множеств (часто - сигма-алгебру множеств) , то есть это пара ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$, где ${\displaystyle X}$ — множество, а ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ — некоторая ${\displaystyle \sigma }$-алгебра его подмножеств.^[1].

Подмножества указанной выделенной системы (алгебры) подмножеств называются измеримыми. В измеримом пространстве может быть определена числовая функция, называемая мерой, определенная для каждого измеримого подмножества. "Измеримость" также определяется для отображений между измеримыми пространствами.

Тривиальными случаями измеримых пространств являются пространства, сигма-алгебра которых состоит: 1) только из пустого множества и самого множества ${\displaystyle X}$; 2) из всех подмножеств множества ${\displaystyle X}$

Несмотря на тесную взаимосвязь измеримых пространств и пространствами с мерой, формально для определения измеримого пространства не требуется мера множества.

В теории вероятностей базовое множество - это пространство элементарных событий, а сигма-алгебра измеримых подмножеств - это множество случайных событий.

Измеримые отображения. Пусть ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {B}})}$ — измеримые пространства. Отображение ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ называется (${\displaystyle {\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}}$)- измеримым, если для ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ прообраз ${\displaystyle A=\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)}$ входит в ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ некоторая система множеств, порождающая ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то функция ${\displaystyle \phi }$ является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого ${\displaystyle B\in {\mathfrak {C}}}$ прообраз ${\displaystyle \{\phi \in B\}}$ входит в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

Часто рассматриваются измеримые топологические пространства, сигма-алгебра которой порождается (содержит) все открытые (а значит и замкнутые) множества этого топологического пространства. Минимальная ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской ${\displaystyle \sigma }$ — алгеброй пространства X; при этом множества ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ называются борелевскими. Если в пространстве ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {B}})}$ сигма-алгебра борелевская, то вместо ${\displaystyle ({\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}}$)- измеримости отображения говорят упрощенно, что отображение ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$-измеримо. Соответственно, если в обоих пространствах подразумеваются борелевские сигма-алгебры, то говорят просто об измеримом отображении.

Измеримые пространства, порождаемые отображениями. Пусть ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ — функция на измеримом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ со значениями в произвольном пространстве ${\displaystyle Y}$. Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\phi }}$ всех множеств ${\displaystyle B\subseteq Y}$ таких, что прообразы ${\displaystyle \{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)}$ входят в ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ пространства ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ является ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй.

Пусть ${\displaystyle X}$ произвольное пространство и ${\displaystyle \phi =\phi (x)}$ — функция на ${\displaystyle X}$ со значениями в измеримом пространстве ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {B}})}$. Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\phi }}$ всех множеств ${\displaystyle A\subseteq X}$ являющихся прообразами ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$: ${\displaystyle A=\{\phi \in B\}}$ является ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй.

Таким образом, если имеется отображение из данного множества в некоторое измеримое пространство, то на этом множестве индуцированная сигма-алгебра задает структуру измеримого пространства. Очевидно, указанной порождающее отображение будет измеримым относительно соответствующих сигма-алгебр.

Произведение измеримых пространств. Произведением измеримых пространств ${\displaystyle (X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})}$ и ${\displaystyle (X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})}$ называется измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$, ${\displaystyle X=X_{1}\times X_{2}}$, в котором ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, порождена произведением ${\displaystyle \sigma }$ — алгебр ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{2}}$, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ порождается полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}}$ всевозможных прямоугольных множеств вида ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$, где ${\displaystyle A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}}$.

Сепарабельное измеримое пространство. Измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, отделяющая точки пространства ${\displaystyle X}$ и порождающая соответствующую ${\displaystyle \sigma }$ — алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Говорят, что система множеств ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, отделяет точки пространства ${\displaystyle X}$, если для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ найдутся непересекающиеся множества ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C}}}$ такие, что ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}}$.

Измеримое координатное пространство. Пусть ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ — некоторое измеримое пространство, а ${\displaystyle T}$— конечное множество индексов ${\displaystyle t=1,...,n.}$. Измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$, где ${\displaystyle X=E^{T}}$ является ${\displaystyle n}$- кратным произведением пространства само на себя, а ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}}$ есть ${\displaystyle n}$- кратное произведение соответствующих ${\displaystyle \sigma }$ — алгебр ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, называется измеримым координатным пространством. Точки ${\displaystyle x={x(1),...,x(n)}}$ этого пространства ${\displaystyle X=E^{T}}$ задаются координатами ${\displaystyle x(t),t\in T}$. Если ${\displaystyle T}$ произвольное множество, то координатное пространство ${\displaystyle X=E^{T}}$ определяется как совокупность всех функций ${\displaystyle x=x(t)}$ на множестве ${\displaystyle T}$ со значениями в пространстве ${\displaystyle E}$ (отдельные значения ${\displaystyle x(t)}$ можно интерпретировать как координаты точки ${\displaystyle x=x(t)}$, принадлежащей пространству ${\displaystyle X=E^{T}}$).

Пусть ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$ — произвольные точки множества ${\displaystyle T}$, где ${\displaystyle n}$- конечное число, и ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$ — произвольные подмножества пространства ${\displaystyle E}$. Множество вида

${\displaystyle {x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}}$,

принадлежащие пространству ${\displaystyle X}$, называется цилиндрическим множеством в ${\displaystyle X=E^{T}}$. Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек ${\displaystyle x=x(t)}$, координаты которых ${\displaystyle x(t_{1}),...,x(t_{n})}$ входит в соответствующие множества ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$. Система всех цилиндрических множеств, для которых ${\displaystyle B_{1},...,B_{n}}$ входят в ${\displaystyle \sigma }$ — алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ пространства ${\displaystyle E}$, представляют собой полукольцо ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{T}}$. Измеримым координатным пространством${\displaystyle (X,{\mathfrak {A}})}$ называется пространство ${\displaystyle X=E^{T}}$ с ${\displaystyle \sigma }$ — алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, порождённой полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{T}}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(S)}$, ${\displaystyle S\subseteq T}$ — ${\displaystyle \sigma }$ — алгебра, порождённая полукольцом ${\displaystyle {\mathfrak {B}}^{S}}$ всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами ${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in S}$. Если точка ${\displaystyle x'=x'(t)}$ пространства ${\displaystyle X=E^{T}}$ входит во множество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(S)}$ и другая точка ${\displaystyle x''=x''(t)}$ такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: ${\displaystyle x'(t)=x''(t)}$ при всех ${\displaystyle t\in S}$, то ${\displaystyle x''=x''(t)}$ также входит в ${\displaystyle A}$. Всякое множество A из ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)}$ принадлежит одновременно некоторой ${\displaystyle \sigma }$ — алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)}$, где ${\displaystyle S}$- некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).