Изоморфизм групп

Изоморфизм групп — изоморфизм между группами: взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, сохраняющее групповые операции. Изоморфные группы — группы, между которыми существует изоморфизм, с общеалгебраической точки зрения такие группы имеют одни и те же свойства и их можно не различать. Стандартное обозначение изоморфных групп: ${\displaystyle G\cong H}$, иногда используются обозначения ${\displaystyle G\simeq H}$, ${\displaystyle G=H}$.

Для того, чтобы биекция ${\displaystyle f\colon G\to H}$ между группами ${\displaystyle (G,*)}$ и ${\displaystyle (H,\circ )}$ была изоморфизмом достаточно, чтобы сохранялась групповая бинарная операция ${\displaystyle f(u*v)=f(u)\circ f(v)}$ для любой пары элементов ${\displaystyle u,v\in G}$, поскольку сохранение перехода к обратному элементу (${\displaystyle f(u^{-1})=(f(u))^{-1}}$) и нейтрального элемента (${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$) следуют из этого свойства. Ядро изоморфизма из ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle H}$ всегда состоит из единственного элемента ${\displaystyle e_{G}}$ — нейтрального элемента ${\displaystyle G}$.

Автоморфизм группы — изоморфизм группы с самой собой.

В категории групп изоморфизм групп можно определить как двусторонний обратимый морфизм.

Группа всех вещественных чисел по сложению ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ изоморфна группе всех положительных вещественных чисел по умножению ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\cdot )}$, изоморфизмом служит экспонента ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$.

Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел по сложению является подгруппой ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а факторгруппа ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ изоморфна группе ${\displaystyle S^{1}}$ комплексных чисел с абсолютной величиной 1 (по умножению): ${\displaystyle (\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,+)\cong (S^{1},\cdot )}$, изоморфизм задаётся выражением ${\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}}$ для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Четверная группа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (сравнение по модулю), а следовательно, может быть записана как ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$. Другая запись — ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}}$, поскольку она является диэдрической группой. Обобщая, для всех нечётных ${\displaystyle n}$, группа ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}}$ изоморфна прямому произведению ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Для некоторых групп можно доказать изоморфизм с использованием аксиомы выбора, но такое доказательство не показывает, каким образом сконструировать конкретный изоморфизм. Например, в ZFC доказуемо, что группа ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ изоморфна группе ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ комплексных чисел по сложению^[1], но это же утверждение недоказуемо в ZF (системе Цермело — Френкеля без аксиомы выбора). Также в системах с аксиомой выбора доказуем изоморфизм групп ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ненулевых комплексных чисел по умножению и ${\displaystyle (S^{1},\cdot )}$.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел по сложению; с общеалгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел по сложению является единственной бесконечной циклической группой. Все конечные циклические группы заданного порядка ${\displaystyle n}$ изоморфны ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)}$.

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.