Категория запятой

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Категорию запятой ${\displaystyle S\downarrow T}$ (обозначение Ловера — ${\displaystyle (S,T)}$) для функторов ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle T\colon {\mathcal {B}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ можно построить следующим образом:

• объекты — все тройки вида ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — объект ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \beta }$ — объект ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, и ${\displaystyle f\colon S(\alpha )\rightarrow T(\beta )}$ — морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,
• морфизмы из ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ в ${\displaystyle (\alpha ',\beta ',f')}$ — все пары ${\displaystyle (g,h)}$, где ${\displaystyle g:\alpha \rightarrow \alpha '}$, ${\displaystyle h:\beta \rightarrow \beta '}$ — морфизмы в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

${\displaystyle {\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)}}&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T(\beta )&{\xrightarrow[{T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrix}}}$

Композиция морфизмов ${\displaystyle (g,h)\circ (g',h')}$ берётся как ${\displaystyle (g\circ g',h\circ h')}$, если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ — это ${\displaystyle (\mathrm {id} _{\alpha },\mathrm {id} _{\beta })}$.

Категория объектов над заданным объектом ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ — категория запятой ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow 1_{A}}$, где ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ — тождественный функтор, а ${\displaystyle 1_{A}\colon {\textbf {1}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ — функтор из категории с одним объектом ${\displaystyle *}$ и одним морфизмом, заданный как ${\displaystyle 1(*)=A}$. В этом случае используют обозначение ${\displaystyle {\mathcal {C}}\downarrow A}$. Объекты вида ${\displaystyle (\alpha ,*,f)}$ — это просто пары ${\displaystyle (\alpha ,f)}$, где ${\displaystyle f\colon \alpha \rightarrow A}$. Иногда в этой ситуации ${\displaystyle f}$ обозначают как ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$. Морфизм из ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$ в ${\displaystyle (B',\pi _{B'})}$ — это морфизм ${\displaystyle g\colon B\rightarrow B'}$, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle 1_{A}\downarrow \mathbf {Id} _{\mathcal {C}}}$. В этом случае используют обозначение ${\displaystyle A\downarrow {\mathcal {C}}}$. Объекты — пары ${\displaystyle (B,i_{B})}$, где ${\displaystyle i_{B}:A\rightarrow B}$. Морфизм между ${\displaystyle (B,i_{B})}$ и ${\displaystyle (B',i_{B'})}$ — отображение ${\displaystyle h:B\rightarrow B'}$, замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}$, её объекты — морфизмы ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а морфизмы — коммутативные квадраты в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^[1].

Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой ${\displaystyle \bullet \downarrow \mathrm {Id} _{\mathbf {Set} }}$, где ${\displaystyle \bullet }$ — функтор, выбирающий некоторый синглетон и ${\displaystyle \mathbf {Id} _{\mathbf {Set} }}$ — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой ${\displaystyle \bullet \downarrow \mathrm {Id} _{\mathbf {Top} }}$.

Категория графов — это категория запятой ${\displaystyle \mathrm {Id} _{\mathbf {Set} }\downarrow D}$, где ${\displaystyle D\colon \mathbf {Set} \longrightarrow \mathbf {Set} }$ — функтор, отправляющий ${\displaystyle s}$ в ${\displaystyle s\times s}$. Объекты вида ${\displaystyle (a,b,f)}$ состоят из двух множеств и функции; ${\displaystyle a}$ — индексирующее множество для рёбер, ${\displaystyle b}$ — множество вершин, тогда ${\displaystyle f\colon a\rightarrow (b\times b)}$ выбирает пару элементов ${\displaystyle b}$ для каждого ${\displaystyle a}$, то есть ${\displaystyle f}$ выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер ${\displaystyle b\times b}$. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$, который отображает:

• объекты: ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha }$,
• морфизмы: ${\displaystyle (g,h)\mapsto g}$,

и функтор образа ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$, который отображает:

• объекты: ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta }$,
• морфизмы: ${\displaystyle (g,h)\mapsto h}$.

Функторы ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {D}}}$ и ${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой ${\displaystyle F\downarrow \mathrm {Id} _{\mathcal {D}})}$ и ${\displaystyle (\mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow G)}$ изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$. Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Если образы функторов ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в ${\displaystyle S\downarrow T}$ с ${\displaystyle \alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h}$ совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование ${\displaystyle S\to T}$. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида ${\displaystyle S(\alpha )\to T(\alpha )}$, тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию ${\displaystyle \eta :S\to T}$, где ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ соответствует функтор ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ который отображает объект ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ,\eta _{\alpha })}$ и морфизмы ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle (g,g)}$. Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями ${\displaystyle S\to T}$ и функторами ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$, которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из ${\displaystyle S\downarrow T}$.

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.