Константа Рамануджана — Зольднера

Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) — вещественное число, определяемое как значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Константе названа в честь Сринивасы Рамануджана и Иоганна фон Зольднера, которые в разное время вычислили её приближённое значение.

Её значение равно примерно ${\displaystyle \mu \approx 1{,}45136923488338105028396848589202744949303228\cdots }$ (последовательность A070769 в OEIS).

Неизвестно, является ли постоянная Рамануджана — Зольднера иррациональным числом, также неизвестно, иррационален ли её логарифм^[1].

Поскольку интегральный логарифм определён как ${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$, верно

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$^[2].

Это облегчает вычисление интеграла для ${\displaystyle x>1}$. Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству ${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})}$^[3], то её единственный положительный корень равен натуральному логарифму константы Рамануджана — Зольднера^[4]. Его величина ${\displaystyle \ln \mu \approx 0{,}372507410781366634461991866\cdots }$(последовательность A091723 в OEIS).

Из разложения интегрального логарифма в ряд следует, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu -\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}\mu }{n\cdot n!}}}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони^[5].

Другое разложение интегрального логарифма в ряд, обнаруженное Рамануджаном, показывает, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu +{\sqrt {\mu }}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln ^{n}\mu }{2^{n-1}n!}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$^[1].

Для последовательности ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {(-n)^{k}}{k!}}\sum _{\begin{array}{c}m_{1}+\cdots +m_{k}=n-1\\m_{i}>0\end{array}}{\frac {1}{m_{1}\cdot m_{1}!\cdots m_{k}\cdot m_{k}!}}}$ известны следующие суммы:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\gamma n}=\ln \mu }$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}e^{-\gamma n}=\mu -1}$^[6].

В 1792 году Лоренцо Маскерони вычислил, что функция ${\displaystyle \operatorname {li} (z)}$ имеет нуль при ${\displaystyle z\approx 1{,}45137}$^[7]. Зольднер в 1809 году улучшил точность до 10 знаков после запятой, получив 1,4513692346 (впрочем, в последнем знаке он ошибся)^[8][9].

В 1913 году Рамануджан получил для ${\displaystyle \mu }$ значение 1,45136380. Он использовал его для вычисления интегрального логарифма, который, в свою очередь, входил в его оценку функции распределения простых чисел^[10][11][9].

В 1990 году Брюс Берндт и Рональд Эванс при помощи системы компьютерной алгебры Macsyma смогли улучшить известное значение ${\displaystyle \mu }$, получив 1,4513692349^[9].

В 1999 году Паскаль Себа вычислил 10 000 знаков числа ${\displaystyle \mu }$, а в 2001 году он смог получить 75 500 знаков; для вычисления он применял метод Ньютона четвёртого порядка^[12]. Его результат оставался рекордом по крайней мере до августа 2010 года. Для сравнения, постоянная Каталана ${\displaystyle G}$ была вычислена Себой и Гордоном в том же 2001 году с точностью более 100 миллионов знаков после запятой^[13].

• Mascheronio, Laurentio. Adnotationes ad calculum integralem Euleri: In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur. Pars altera : [лат.]. — Ticini : Typographia Petri Galeatii, 1792.
• Soldner, Johan Georg. Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante : [фр.]. — Munic : J. Lindauer, 1809.
• Hardy, G. H. Further extracts from Ramanujan’s letters to G. H. Hardy // Collected Papers of Srinivasa Ramanujan : [англ.] / G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson. — Cambridge University Press, 1927. — P. 351.
• Hardy, G. H. Ramanujan and the theory of prime numbers // Ramanujan: twelve lectures on subjects suggested by his life and work : [англ.]. — Third (corrected) Edition. — New York : Chelsea Publishing Company, 1978. — P. 23, 45. — ISBN 0-8284-0136-5.
• Berndt, Bruce C.; Evans, Ronald J. (18 ноября 1991). Some elegant approximations and asymptotic formulas of Ramanujan. Journal of Computational and Applied Mathematics. 37: 35–41. doi:10.1016/0377-0427(91)90104-R.
• Sebah, P. (2001), 75500 digits of the Ramanujan-Soldner constant via fast quartic Newton iteration (англ.)
• Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. Newton’s method and high order iterations (англ.) (3 октября 2001). Дата обращения: 8 сентября 2025.
• Finch, S. R. 6.2.2. Logarithmic Integral // Mathematical Constants. — Cambridge : Cambridge University Press, 2003. — P. 425.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. Constants and Records of Computation (англ.) (12 августа 2010). Дата обращения: 8 сентября 2025.
• Wolf, Marek. The relations between Euler-Mascheroni and Ramanujan–Soldner constants (англ.) (январь 2019). Дата обращения: 7 сентября 2025.
• Krotkov, Danil. On polynomials of binomial type, Ramanujan-Soldner constant and inverse logarithmic derivative operator (англ.) (9 июля 2019). Дата обращения: 7 сентября 2025.

• Weisstein, Eric W. Soldner's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.