Контур Ганкеля

Контур Ганкеля — путь в комплексной плоскости, который проходит от ${\displaystyle (+\infty ,\delta )}$ вокруг начала координат против часовой стрелки и обратно по ${\displaystyle (+\infty ,-\delta )}$, где ${\displaystyle \delta }$ — сколь угодно малое положительное число. Таким образом, контур остаётся сколь угодно близким к действительной оси, но не пересекает действительную ось, за исключением отрицательных значений ${\displaystyle x}$. Контур Ганкеля также может быть представлен путём, который включает зеркальные отражения чуть выше и ниже действительной оси, соединённые с окружностью радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в начале координат, где ${\displaystyle \varepsilon }$ — сколь угодно малое число. Говорят, что две линейные части контура находятся на расстоянии ${\displaystyle \delta }$ от действительной оси. Таким образом, общее расстояние между линейными частями контура равно ${\displaystyle 2\delta }$. Контур обходится в положительно-ориентированном направлении, что означает, что окружность вокруг начала координат обходится против часовой стрелки.

Общая логика заключается в том, что ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ бесконечно малы, а контур интегрирования не охватывает ни одной неаналитической точки интегрируемой функции, за исключением, возможно, нулевой. При этих условиях, согласно теореме Коши, значение интеграла одинаково не зависит от ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$. Обычно вычисления состоят в том, чтобы сначала вычислить интеграл для ненулевых значений ${\displaystyle \delta }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$, а затем устремить их к ${\displaystyle 0}$.

Использование контуров Ганкеля является одним из методов контурного интегрирования. Этот приём был впервые явно использован Германом Ганкелем при исследовании гамма-функции, хотя Риман уже неявно использовал его в своей работе о дзета-функции Римана в 1859 году.

В общем виде контур Ганкеля делится на три части:

Интегрирование выполняется по зелёной полуоси, расположенной выше оси ${\displaystyle Ox}$, справа налево от бесконечности до точки ${\displaystyle M}$, затем по части красной окружности — против часовой стрелки до точки ${\displaystyle N}$ и, наконец, по синей полуоси, расположенной ниже оси ${\displaystyle Ox}$, слева направо до бесконечности. ${\displaystyle M}$ и все числа горизонтальной оси справа от него имеют комплексную часть ${\displaystyle i\delta }$. Наоборот, ${\displaystyle N}$ и все числа горизонтальной оси справа от него имеют комплексную часть ${\displaystyle -i\delta }$. Таким образом, интеграл вычисляется по каждому пути отдельно, а затем суммируется.

Контур Ганкеля используется для вычисления таких интегралов, как гамма-функция, дзета-функция Римана и другие функции Ганкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода)^[1][2]. Например, выражение контурного интеграла гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi z}}}\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$.

• Schmelzer T., Trefethen L. N. Computing the Gamma Function Using Contour Integrals and Rational Approximations (англ.) // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2007. — Vol. 45, iss. 2. — P. 558–571. — ISSN 0036-1429. — doi:10.1137/050646342.
• Montgomery H. L., Vaughan R. C. Multiplicative number theory I. Classical theory (англ.). — Cambridge University Press, 2007. — Vol. 97. — 515 p. — (Cambridge tracts in advanced mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.

• Weisstein, Eric W. Hankel Contour (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gamma Function Properites . NIST (15 марта 2025).