Поглощение (алгебра)

Поглоще́ние (англ. absorption^[1]) — свойство согласованности двух бинарных операций «${\displaystyle \circ }$» и «${\displaystyle \bullet }$», определённых на одном и том же множестве:

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x\bullet (x\circ y)=x}$

для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$^[2][3][4][5].

Синонимы: закон поглощения^[2][3][4] (англ. absorption law^[6]); тождество поглощения^[5] (англ. absorption identity^[7]).

Термин «поглощение» в английском языке изолированно почти не встречается, только в сочетаниях «закон поглощения» или «тождество поглощения».

Если две бинарные операции на множестве удовлетворяют закону поглощения, то ${\displaystyle x\circ y=y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\bullet y=x}$. Действительно, если ${\displaystyle x\circ y=y}$, то ${\displaystyle x\bullet (x\circ y)=x\bullet y}$, и ${\displaystyle x=x\bullet y}$. Обратно аналогично^[3].

Две бинарные операции на множестве удовлетворяют законам ассоциативности, коммутативности и поглощения, и на данном множестве имеется бинарное отношение элементов ${\displaystyle x\leqslant y}$, которое задаётся любой из двух равносильных эквивалентностей:

• ${\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\circ y=y}$,
• ${\displaystyle x\leqslant y\Leftrightarrow x\bullet y=x}$,

тогда и только тогда, когда данное множество упорядочено с отношением порядка ${\displaystyle \leqslant }$ таким, что для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$ имеется как наименьшая верхняя грань ${\displaystyle x\circ y}$, так и наибольшая нижняя грань ${\displaystyle x\bullet y}$^[2][3].

1. Если выполняются оба закона поглощения

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x\bullet (x\circ y)=x}$,

то выполняются и оба закона идемпотентности

${\displaystyle x\circ x=x}$ и ${\displaystyle x\bullet x=x}$^[8].

Действительно,

${\displaystyle x\circ (x\bullet (x\circ x))=x\circ [x\bullet (x\circ x)]=x\circ x}$

и

${\displaystyle x\circ (x\bullet (x\circ x))=[x\circ (x\bullet (x\circ x))]=x}$^[8].

Для операции «${\displaystyle \bullet }$» рассуждения аналогичны^[8].

2 (Кальман, 1968). Решётку можно определить с помощью двух тождеств. Алгебра, то есть множество с двумя бинарными операциями «${\displaystyle \circ }$» и «${\displaystyle \bullet }$», есть решётка тогда и только тогда, когда

${\displaystyle x\circ (x\bullet y)=x}$

и

${\displaystyle (((x\bullet y)\bullet z)\circ u)\circ v=(((y\bullet z)\bullet x)\circ v)\circ ((w\circ u)\bullet u)}$

для любых элементов ${\displaystyle x,\;y,\;z,\;u,\;v,\;w}$^[8].

3 (Маккензи, 1970). Решётку можно определить с помощью одного тождества^[8].

1. ↑ George Grätzer. General Lattice Theory, 1978, Chapter IV. Modular and Semimodular Lattices. 1. Modular Lattices, p. 168.
2. ↑ ^{1 2 3} Гришин В. Н. Поглощения законы, 1984.
3. ↑ ^{1 2 3 4} Расёва Е., Сикорский Р. Математика метаматематики, 1972, Глава I. Предварительные сведения… § 6. Решётки, с. 45.
4. ↑ ^{1 2} Биркгоф Г. Теория структур, 1952, Глава II. Структуры. § 3. Структуры как абстрактные алгебры, с. 39.
5. ↑ ^{1 2} Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава I. Начальные понятия. § 1. Два определения, с. 20.
6. ↑ Garrett Birkhoff. Lattice theory, 1948, Chapter II. Lattices. 3. Lattices as abstract algebras, p. 18.
7. ↑ George Grätzer. General Lattice Theory, 1978, Chapter I. First Concepts. 1. Two Definitions of Lattices, p. 4.
8. ↑ ^{1 2 3 4 5} Гретцер Г. Общая теория решёток, 1982, Глава I. Начальные понятия. § 1. Два определения, с. 24.

• Биркгоф Г. Теория структур = Garrett Birkhoff, Lattice theory. Revised Edition (1948) (рус.) / Пер. с англ. М. И. Граева. — М.: «Издательство иностранной литературы», 1952. — 407 с.: ил.
• Гретцер Г.. Общая теория решёток = George Grätzer. General Lattice Theory (1978) (рус.) / Пер. с англ. А. Д. Больбота, В. А. Горбунова и В. И. Туманова под ред. Д. М. Смирнова. — М.: «Мир», 1982. — 452 с.: ил. — 6000 экз.
• Гришин В. Н. Поглощения законы // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 351. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Расёва Е., Сикорский Р.. Математика метаматематики = Helena Rasiowa, Roman Sikorski. The mathematics of metamathematics (1963) (рус.) / Пер. с англ. В. А. Янкова. — М.: «Наука», 1972. — 591 с. — (Математическая логика и основания математики).
• Garrett Birkhoff. Lattice theory (англ.). — Revised Edition. — New York: American Mathematical Society, 1948. — xiii+283 p.
• George Grätzer. General Lattice Theory (англ.). — New York · San Francisco: Academic Press, 1978. — xiii+381 p. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 0-12-295750-4.