Поле Якоби

Поле Якоби — векторное поле вдоль геодезической ${\displaystyle \gamma }$ в римановом многообразии, описывающие разницу между этой геодезической и «бесконечно близкой» ей геодезической. Можно сказать, что все поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к ней в пространстве всех геодезических.

Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Пусть ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ есть гладкое однопараметрическое семейство геодезических с ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, тогда поле

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}$

называется полем Якоби.

• Поле Якоби J удовлетворяет уравнению Якоби:

  ${\displaystyle J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,}$

где ${\displaystyle J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J}$ есть ковариантная производная по отношению к связности Леви-Чивита, ${\displaystyle R}$ — тензор кривизны, и ${\displaystyle T(t)=d\gamma (t)/dt}$ — касательный вектор к ${\displaystyle \gamma }$.

• На полных римановых многообразиях любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$, связанное с этим полем в соответствии с определением.

• Уравнение Якоби — линейное  обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
  • В частности,  ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}$ в какой-либо точке ${\displaystyle \gamma }$ однозначно определяют поле Якоби.
  • Кроме того, набор полей Якоби вдоль геодезической составляет вещественное векторное пространство, размерность которого равна удвоенной размерности многообразия.

• Любое поле Якоби ${\displaystyle J}$ можно представить единственным образом в виде суммы ${\displaystyle T+I}$, где ${\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и ${\displaystyle I(t)}$ ортогонально ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ при всех ${\displaystyle t}$.
  • При этом поле ${\displaystyle I}$ соответствует тому же семейству геодезических, только с измененной параметризацией.

• Для любых двух полей Якоби ${\displaystyle I(t)}$ и ${\displaystyle J(t)}$ величина

  ${\displaystyle \langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle }$

не зависит от ${\displaystyle t}$.

На сфере геодезическими через Северный полюс являются большие окружности. Рассмотрим две такие геодезические ${\displaystyle \gamma _{0}}$ и ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ с естественной параметризацией ${\displaystyle t\in [0,\pi ]}$, разделенные углом ${\displaystyle \tau }$. Геодезическое расстояние ${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))}$ равно

${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatorname {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\operatorname {tg} ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}$

Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:

${\displaystyle d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0}$ для любого ${\displaystyle \tau }$.

Вместо этого мы можем рассмотреть производные по ${\displaystyle \tau }$ при ${\displaystyle \tau =0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.}$

Мы вновь получаем пересечение геодезических при ${\displaystyle t=\pi }$. Заметим, однако, что для вычисления этой производной не нужно знать ${\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))}$; все, что нужно сделать, это решить уравнение

${\displaystyle y''+y=0}$,

для некоторых заданных начальных условий.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления для произвольных римановых многообразий.

Пусть ${\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}$; добавим к этому вектору другие, чтобы получился ортонормированный базис ${\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}$ в ${\displaystyle T_{\gamma (0)}M}$. Переместим его параллельным переносом, чтобы получить базис ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ в любой точке ${\displaystyle \gamma }$. Это даёт ортонормированный базис с ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}$. Поле Якоби можно записать в координатах, связанных с этим базисом: ${\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}$, откуда:

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),}$

и уравнение Якоби можно переписать в виде системы

${\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}$

для каждого ${\displaystyle k}$. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поскольку уравнение имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех ${\displaystyle t}$ и являются единственными, если заданы ${\displaystyle y^{k}(0)}$ и ${\displaystyle {\frac {dy^{k}}{dt}}(0)}$ для всех ${\displaystyle k}$.

Рассмотрим геодезическую ${\displaystyle \gamma (t)}$ с параллельным ортонормированным репером ${\displaystyle e_{i}(t)}$, ${\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}$, построенным, как описано выше.

• Векторные поля вдоль ${\displaystyle \gamma }$, заданные ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$, являются полями Якоби.
• В евклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны)  поля Якоби это — это те поля, что линейны по ${\displaystyle t}$.
• Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны ${\displaystyle -k^{2}}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$ и ${\displaystyle \exp(\pm kt)e_{i}(t)}$, где ${\displaystyle i>1}$.
• Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны ${\displaystyle k^{2}}$ любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}$, ${\displaystyle \sin(kt)e_{i}(t)}$ и ${\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}$, где ${\displaystyle i>1}$.
• Сужение поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.
• Поля Якоби соответствуют геодезическим на касательном расслоении (по отношению к метрике ${\displaystyle TM}$, индуцированной метрикой на ${\displaystyle M}$).

• Сопряжённые точки
• Теорема сравнения Рауха
• Уравнение Риккати

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.