Полунорма

Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Полунормой называется неотрицательная функция ${\displaystyle p\colon L\to \mathbb {R} }$, в линейном пространстве ${\displaystyle L}$ над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Абсолютная однородность: ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x)}$ для любого скаляра ${\displaystyle \alpha }$
2. Неравенство треугольника: ${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)}$ для всех ${\displaystyle x,y\in L}$

Пространство ${\displaystyle {(L,\;p)}}$ называется полунормированным пространством.

• ${\displaystyle p(0)=0}$

Это свойство следует из первого условия определения и равенства ${\displaystyle 0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L}=0_{L}}$, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle p(0_{L})=p(0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L})=|0_{\mathbb {R} }|\cdot p(0_{L})=0_{\mathbb {R} }}$ (где ${\displaystyle 0_{L}=0_{\mathbb {R} }\cdot 0_{L}}$ следует из линейности ${\displaystyle L}$)

• ${\displaystyle p(x)=p(-x)}$

Это свойство также получается из первого условия при ${\displaystyle \alpha =-1}$.

• ${\displaystyle p(x)\geqslant 0}$

Если предположить существование такого ${\displaystyle x^{*}}$, что ${\displaystyle p(x^{*})<0}$, то из первого условия определения следует, что и ${\displaystyle p(-x^{*})<0}$. Воспользовавшись вторым условием, ${\displaystyle p(0)=p(x^{*}-x^{*})\leqslant p(x^{*})+p(-x^{*})<0}$ получаем противоречие с первым свойством.

• Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.