Полупространство

Полупростра́нство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости в пространстве^[1][2][3], то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне плоскости^[3]. Эта плоскость определяет полупространство^[4] и является её границей^[1][2][3], а полупространство исходит из своей границы^[5], или просто полупространство от границы^[6].

В некоторых источниках граница полупространства ему принадлежит, то есть полупространство замкнуто^[7][8][9].

Замкнутое полупространство — полупространство со своей границей^[1][2].

Полупространство есть неограниченная область, так как оно есть открытое множество^[10] и неограниченное выпуклое множество^[11].

Другое название полупространства — одногранник, это простейший трёхмерный выпуклый многогранник^[12].

Полупространство — множество всех точек ${\displaystyle M}$ трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости ${\displaystyle P}$, что и некоторая заданная точка ${\displaystyle A}$ вне плоскости, то есть полупространство — это точка ${\displaystyle A}$ и множество всех точек ${\displaystyle M}$ таких, что отрезок ${\displaystyle AM}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle P}$^[13][14]. Эта плоскость определяет полупространство^[4] и является её границей^[1][2][3].

Теорема 1. Произвольная плоскость ${\displaystyle P}$ в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ вне плоскости ${\displaystyle P}$ такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью ${\displaystyle P}$ всё пространство и имеют своими границами ${\displaystyle P}$^[13].

Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным. При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства^[15].

Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию:

• ориентация плоскости,
• сторона плоскости,
• ориентация трёхмерного пространства —

любые два однозначно определяют третий^[16].

Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением^[17]:

${\displaystyle L(x,\ y,\ z)=Ax+By+Cz+D=0}$.

Точки, неразделённые плоскостью — две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, которые либо совпадают, ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$, либо отрезок ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M_{1}M_{2}\cup L=\varnothing }$^[17].

Предложение 1. Две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа ${\displaystyle L_{1}=L(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle L_{2}=L(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ одного знака^[17].

Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности, причём соответствующих классов эквивалентности ровно два^[14].

Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство^[14].

Рассмотрим два чисто математических примера^[18].

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром ${\displaystyle (x,\,y)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ изображается точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ представляется точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

• Полупространства
• 
  Все круги на плоскости образуют трёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$
• 
  Все сферы в трёхмерном пространстве образуют четырёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$

В общем трёхмерном случае в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}$ координаты точек ${\displaystyle 3}$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости

${\displaystyle Ax+By+Cz+D>0}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C,\,D}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю^[1][2][4].

Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$^[1][2].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^[19]:

• координатная плоскость ${\displaystyle Oxy}$ имеет уравнение с аппликатой ${\displaystyle z=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle z>0}$ и ${\displaystyle z<0}$ с границей ${\displaystyle Oxy}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oxz}$ имеет уравнение с ординатой ${\displaystyle y=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle y>0}$ и ${\displaystyle y<0}$ с границей ${\displaystyle Oxz}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oyz}$ имеет уравнение с абсциссой ${\displaystyle x=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle x<0}$ с границей ${\displaystyle Oyz}$;

Перейдём к ${\displaystyle n}$-мерному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}$. Здесь координаты точек ${\displaystyle n}$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b>0}$,

где ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n},\,b}$ — постоянные, причём ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}}$ одновременно не равны нулю^[4].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^[9]:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}>0\}}$

с границами

${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{n-1}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}=0\}.}$

В векторной нотации уравнение полупространства с границей, проходящей через заданную точку ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, записывается через скалярное произведение векторов как

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} )>(\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} _{0})}$,

или

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})>0}$,

где ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ — произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}$

в точке ${\displaystyle x_{0}}$, приячём вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ направлен от точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства^[20].

Полупространство банахова пространства — одно из множеств точек

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)>0\}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{-}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)<0\}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — банахово пространство, а ${\displaystyle \lambda (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — непрерывное линейное отображение (функционал на ${\displaystyle \mathbb {E} }$), при этом ядро линейного отображения ${\displaystyle \lambda (x)}$, на котором ${\displaystyle \lambda (x)=0}$, называется гиперплоскостью ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}}$ банахова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} }$^[8].

Теорема 1. Если ${\displaystyle \mu (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — другой функционал, причём ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\mathbb {E} _{\mu }^{+}}$, то найдётся такое число ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle \lambda =c\mu }$^[8].

Доказательство. Ядра ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ совпадают как границы ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}=\mathbb {E} _{\mu }^{0}}$ совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, и положим ${\displaystyle \lambda (x_{0})>0}$, ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {E} _{\lambda }^{+}}$. Тогда и ${\displaystyle \mu (x_{0})>0}$, так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал

${\displaystyle \lambda (x)-{\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}\mu (x)}$,

который обращается в нуль как на ядрах функционалов ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$, так и на векторе ${\displaystyle x_{0}}$. Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и ${\displaystyle c={\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}}$^[8].

Обобщённая верхняя полуплоскость Зигеля^[21] (просто верхняя полуплоскость Зигеля^[22], или верхнее полупространство Зигеля^[23][24]) — область в пространстве комплексных симметричных матриц порядка ${\displaystyle p}$, образованная квадратными матрицами, мнимая часть которых положительно определена^[22].

Верхнее полупространство Зигеля есть одна из разновидностей область Зигеля первого рода, ассоциированная с конусом положительно определённых симметричных матриц порядка ${\displaystyle p}$. При ${\displaystyle p=1}$ верхнее полупространство Зигеля совпадает с обычной комплексной верхней полуплоскостью^[22].

1. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Полупространство. БСЭ 3, 1975.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Полупространство. МЭС, 1988.
3. ↑ ^{1 2 3 4} Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки, с. 13—14, 65.
4. ↑ ^{1 2 3 4} Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
5. ↑ Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980, 304. Определения, с. 182.
6. ↑ Понарин Я. П. Планиметрия, преобразования плоскости, 2004, 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника, с. 91.
7. ↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 7.2. Класс многогранных тел, с. 67.
8. ↑ ^{1 2 3 4} Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий, 1967, Глава II. Многообразия. Приложение. Многообразия с краем, с. 50.
9. ↑ ^{1 2} Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, 2000, Глава 4. Гладкие многообразия (примеры). § 5. Классификация двумерных поверхностей, с. 253.
10. ↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.2. Открытые и замкнутые множества, с. 16.
11. ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 1.1. Определение. Примеры, с. 182.
12. ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 212.
13. ↑ ^{1 2} Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963, 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
14. ↑ ^{1 2 3 4} Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 81.
15. ↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. §* 4.4. Стороны…, с. 70.
16. ↑ Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 11. Формулы преобразования…, с. 103.
17. ↑ ^{1 2 3} Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 80.
18. ↑ ^{1 2 3} Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 256.
19. ↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 2. Метод координат. §* 1.1. Аффинные координаты, с. 168.
20. ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, 13.1. Определение выпуклой области, с. 131.
21. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1.3. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
22. ↑ ^{1 2 3} Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979.
23. ↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011, Exercise 5.19, p. 103.
24. ↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 1951, 2 Subharmonicityand Its Applications. Exercises, p. 112.

• Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 181—269. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
• Винберг Э. Б. Зигеля область // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 2 Д—Коо. — Стб. 455—456. — 1104 стб., ил. — 148 800 экз.
• Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных (рус.) / предисл. академика Н. Н. Боголюбова. — М.: «Наука», 1964. — 411 с., ил. — 7500 тыс. экз.
• Киселёв М. А. Элементарная геометрия. Книга для учителя (рус.). — копия 12-е изд. (1931). — М.: «Просвещение», 1980. — 286 с., ил.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий = Serge Lang. Introduction to differentiable manifold (1962) (рус.) / пер. с англ. И. М. Дектярёва под ред. М. Я. Антоновского. — М.: «Мир», 1967. — 203 с., ил.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии (рус.). — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2000. — 448 с., ил. — (Университетский учебник). — 3000 экз. — ISBN 5-88688-048-8.
• Полупространство // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — проб. — С. 276. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
• Полупространство // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т (рус.). Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: Издательство МЦНМО, 2004. — 311 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-170-0. — ISBN 5-94057-171-9 (том 1).
• Постников М. М. Аналитическая геометрия (рус.). — М.: «Наука», 1973. — 751 с., ил.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия (рус.). — М.: «Наука», 1979. — 336 с., ил. — 37 000 тыс. экз.
• Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций (рус.). — М.: Физматгиз, 1961. — 191 с. — (Современные проблемы математики). — 5000 экз.
• Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 9—48. — 567 с., ил. — 20 000 экз.
• Рохлин В. А. Площадь и объём // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги пятой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: «Наука», 1966. — Т. 5 Геометрия. — С. 5—87. — 624 с., ил. — 25 000 экз.
• Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables (англ.). — Amsterdam: University of Amsterdam, 2011. — V+260 p.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables (англ.). — Second edition. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001. — Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 1951. — XVI+564 p. — ISBN 0-8218-2724-3 (alk. paper).

• Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (англ.) / revised by Ian Stewart. — Second Edition. — New York · Oxford: Oxford University Press, 1996. — XXII+566 p. — ISBN 0-19-510519-2.