Правило произведения

Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.

Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: ${\displaystyle d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv}$, а для производной следующим: ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}$.

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.^[1]

Вот аргумент Лейбница: пусть ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ - две дифференцируемые функции от ${\displaystyle x}$. Тогда дифференциал от ${\displaystyle uv}$ равен:

${\displaystyle d(u\cdot v)=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v}$ ${\displaystyle =u\ dv+v\ du+du\ dv}$

Поскольку произведение ${\displaystyle du\ dv}$ несоизмеримо меньше чем ${\displaystyle du}$ или ${\displaystyle dv}$, Лейбниц пришел к выводу, что:

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\ du+u\ dv}$

и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал ${\displaystyle dx}$, то получим:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

Формула также может быть записана в нотации Лагранжа^[2]:

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$

Для ${\displaystyle n}$-ой производной существует обобщённая формула Лейбница:

${\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты.

Операция ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}}$ на градуированной алгебре ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}}$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ${\displaystyle K\in \Omega ^{k}}$, ${\displaystyle F\in \Omega }$

${\displaystyle \delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)}$

где ${\displaystyle \wedge }$ — умножение в ${\displaystyle \Omega }$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C].}$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора ${\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}$ По этой причине оператор ${\displaystyle D_{A}}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}$

Как следствие, ${\displaystyle [A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+}$ ${\displaystyle B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}]}$

• Правило умножения (комбинаторика)