Приведённый многочлен

Приведённый многочлен — многочлен одной переменной с коэффициентом при члене в высшей степени равным единице^[1], то есть имеющий вид:

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}$.

По основной теореме алгебры и теореме Безу любой многочлен с ${\displaystyle n}$-й степени с комплексными коэффициентами можно представить в виде ${\displaystyle a_{n}(x-x_{1})\dots (x-x_{n})}$, где ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ — все корни многочлена с учётом их кратности, а ${\displaystyle a_{n}}$ оказывается старшим коэффициентом (коэффициентом при члене в наибольшей степени). Следовательно, преобразуя произвольный многочлен одной переменной в приведённый многочлен делением на ${\displaystyle a_{n}}$ его можно представить в виде: ${\displaystyle (x-x_{1})\dots (x-x_{n})}$, таким образом в поле комплексных чисел приведённый многочлен с учётом кратности имеющий те же корни, что и исходный, определён единственным образом.

Определение распространяется на многочлены с коэффициентами над произвольным кольцом с единицей; множество всех приведённых многочленов с коэффициентами в каким-либо фиксированном кольце замкнуто относительно умножения, то есть произведение приведённых многочленов всегда является приведённым многочленом.

Целое алгебраическое число — число, которое может быть корнем какого-то приведённого многочлена с целыми коэффициентами^[2]. Целые алгебраические числа, грубо говоря, обобщают целые числа по тому же принципу, по какому рациональные числа обобщаются до алгебраических: если алгебраическое число имеет первую степень, то оно является рациональным, а если целое алгебраическое — то вообще целым^[3]. Алгебраические числа, являющиеся «рациональным» обобщением целых алгебраических чисел, — это числа, которые могут быть представлены как корни какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, не тождественно равного нулю. Таких многочленов оказывается бесконечно много: они могут образовываться умножением изначального многочлена на ненулевой коэффициент, а также на линейный множитель, среди них выделяется минимальный многочлен — приведённый многочлен наименьшей степени.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры (рус.). — 2-е, стер.. — МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.