Равноугольный многоугольник

Равноугольный многоугольник — это многоугольник у которого все углы равны В евклидовой геометрии угол каждого выпуклого равноугольного n-угольника равен ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-{\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани^[1]:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые равноугольные двенадцатиугольники разлагаются на комбинации единичных квадратов и равносторонних треугольников. Для остальных нужны дополнительные ромбы с углами 30° и 150°

Отсюда следует, что если n нечётно, то циклический многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда он правильный

Вписанный многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда ровны чередующиеся стороны (то есть, стороны 1, 3, 5, . . . равны друг-другу, и стороны 2, 4, 6, . . . тоже равны). Отсюда следует, что если n нечётно, то циклический многоугольник равноуголен тогда и только тогда, когда он правильный^[2].

Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный p^k-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию^[3].

• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.

• Weisstein, Eric W. Equiangular Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? обсуждение теоремы Viviani на Cut-the-knot.