Радикал идеала

Радикал идеала  — идеал ${\displaystyle I}$ коммутативного кольца ${\displaystyle R}$, образованный всеми элементами ${\displaystyle x}$ такими, что некоторая степень ${\displaystyle x}$ принадлежит ${\displaystyle I}$. Стандартное обозначение — ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$. Радикальный идеал — идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала ${\displaystyle I}$ — прообраз нильрадикала ${\displaystyle R/I}$ при отображении факторизации. Это также доказывает, что ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ является идеалом.

В кольце целых чисел радикал главного идеала ${\displaystyle (a)}$ — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей ${\displaystyle a}$. Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен). В любом коммутативном кольце ${\displaystyle {\sqrt {P^{n}}}=P}$ для простого идеала ${\displaystyle P}$^[1]. В частности, каждый простой идеал радикален.

Операция взятия радикала идемпотентна: ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$. Более того, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ — это наименьший радикальный идеал, содержащий ${\displaystyle I}$.

Радикал ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ — это пересечение всех простых идеалов, содержащих ${\displaystyle I}$. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.

Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Основная мотивация для изучения радикалов — использование в общей формулировке теоремы Гильберта о нулях — одного из центральных результатов коммутативной алгебры: для любого алгебраически замкнутого поля ${\displaystyle k}$ и любого конечнопорождённого идеала ${\displaystyle J}$ в кольце многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных над полем ${\displaystyle k}$ верно ${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$, где ${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}}$ и ${\displaystyle \operatorname {I} (S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\forall x\in S\}}$.

• Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.