Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующие вероятности появления этих значений.

Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и на нём определена случайная величина ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$. В частности, по определению, ${\displaystyle X}$ является измеримым отображением измеримого пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ в измеримое пространство ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Тогда случайная величина ${\displaystyle X}$ индуцирует вероятностную меру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (\{\omega :X(\omega )\in B\}),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$

Мера ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется распределением случайной величины ${\displaystyle X}$. Иными словами, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)}$, таким образом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)}$ задаёт вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$ попадает во множество ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$.

Функция ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x))=\mathbb {P} (X<x)}$ называется функцией распределения случайной величины ${\displaystyle X}$. Из свойств вероятности вытекает теорема:

Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам^[1]:

1. ${\displaystyle F_{X}(x)}$ — функция неубывающая;
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1}$;
3. ${\displaystyle F_{X}}$ непрерывна слева.

Теорема:

Если функция ${\displaystyle F(x)}$ удовлетворяет перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что ${\displaystyle F(x)}$ является её функцией распределения^[1].

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы их задания. В то же время распределения (и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения^[2].

Случайная величина ${\displaystyle X}$ называется простой или дискретной, если она принимает не более чем счётное, конечное число значений. То есть ${\displaystyle X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}}$, где ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — разбиение ${\displaystyle \Omega }$.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})}$. Введя обозначение ${\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})}$, можно задать функцию ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$. В силу свойств вероятности ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$. Используя счётную аддитивность ${\displaystyle \mathbb {P} }$, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение ${\displaystyle X}$.

Набор вероятностей ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$, где ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ называется распределением вероятностей дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$. Совокупность значений ${\displaystyle a_{i},i=1,2...\infty }$ и вероятностей ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty }}$ называется дискретным законом распределения вероятностей^[3].

Для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим следующий пример.

Пусть функция ${\displaystyle p}$ задана таким образом, что ${\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}$. Эта функция задаёт распределение случайной величины ${\displaystyle X}$, для которой ${\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ (см. распределение Бернулли, где случайная величина принимает значения ${\displaystyle 0,1}$). Случайная величина ${\displaystyle X}$ является моделью подбрасывания уравновешенной монеты.

Другими примерами дискретных случайных величин являются распределения

• Пуассона
• биномиальное
• геометрическое

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle p_{i}\geqslant 0}$,
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$, если множество значений является конечным — из свойств вероятности,
3. Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,
4. Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка непрерывности ${\displaystyle F_{X}(x)}$, то ${\displaystyle {\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0}$.

Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида ${\displaystyle a+nh}$, где ${\displaystyle a}$ - вещественное, ${\displaystyle h>0}$, ${\displaystyle n}$ — целое^[4].

Теорема. Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle F}$ была решётчатой с шагом ${\displaystyle h}$, необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяла соотношению ${\displaystyle |f(2\pi /h)|=1}$^[4].

Распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция, такая что

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}$.

Тогда функция ${\displaystyle f_{X}}$ называется плотностью распределения вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$.

Функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Примерами абсолютно непрерывных распределений являются

• нормальное
• равномерное
• экспоненциальное
• распределение Коши.

Пример. Пусть ${\displaystyle f(x)=1}$, когда ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$, и ${\displaystyle f(x)=0}$ в противном случае. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}$, если ${\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}$.

Для любой плотности распределения ${\displaystyle f_{X}}$ верны свойства:

1. ${\displaystyle f_{X}(x)\geqslant 0}$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}$.

Верно и обратное. Если

1. ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} }$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$,

то существует распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ такое, что ${\displaystyle f(x)}$ является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt}$.

Теорема. Если ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная плотность распределения, а ${\displaystyle F(x)}$ — его функция распределения, то

1. ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}$
2. ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$.

При построении распределения на основе эмпирических данных следует избегать ошибок округления.

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными ни на одном интервале. К таким случайным величинам относятся величины функции распределения которых непрерывны, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль^[5].

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры, обычно меры Лебега.

Дискретные распределения

Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность (последовательность вероятностей)	Матем. ожидание	Дисперсия	Характеристическая функция
Дискретное равномерное	${\displaystyle {\text{R}}\{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N}},k\in \{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle {\frac {N+1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {N^{2}-1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it})}}}$
Бернулли	${\displaystyle {\text{Bern}}(p)}$	${\displaystyle p\in (0,1)}$	${\displaystyle \{0,1\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p(1-p)}$	${\displaystyle pe^{it}+1-p}$
Биноминальное	${\displaystyle {\text{Bin}}(n,p)}$	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)}$	${\displaystyle \{0,\dots ,n\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$	${\displaystyle (pe^{it}+1-p)^{n}}$
Пуассоновское	${\displaystyle {\text{Pois}}(\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
Геометрическое	${\displaystyle {\text{Geom}}(p)}$	${\displaystyle p\in (0,1]}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}}$

Абсолютно непрерывные распределения

Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность вероятности ${\displaystyle f(x)}$	Функция распределения F(х)	Характеристическая функция	Математическое ожидание	Медиана	Мода	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Коэффициент эксцесса	Дифференциальная энтропия	Производящая функция моментов
Равномерное непрерывное	${\displaystyle U(a,b)}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$, ${\displaystyle a}$ — коэффициент сдвига, ${\displaystyle b-a}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}}$	${\displaystyle {\dfrac {x-a}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}}$	${\displaystyle {\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	любое число из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}}$	${\displaystyle \ln(b-a)}$	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$
Нормальное (гауссовское)	${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$— коэффициент сдвига, ${\displaystyle \sigma >0}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)}$	${\displaystyle e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$
Логнормальное	${\displaystyle LN(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0}$	${\displaystyle (0;+\infty )}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	${\displaystyle e^{\mu }}$	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$	${\displaystyle e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.}$
Гамма-распределение	${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}}e^{-\alpha x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }}$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}}$		${\displaystyle {\frac {\beta -1}{\alpha }}}$ при ${\displaystyle \beta \geq 1}$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta }}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{\beta }}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }}$ при ${\displaystyle t<\alpha }$
Экспоненциальное	${\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\}}$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda ^{-2}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}$
Лапласа	${\displaystyle {\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0}$ — коэффициент масштаба, ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$ — коэффициент сдвига	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |}}$	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }}$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \ln {\frac {2e}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ для }}|t|<1/\alpha }$
Коши	${\displaystyle {\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )}$	${\displaystyle x_{0}}$ — коэффициент сдвига, ${\displaystyle \gamma >0}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|}}$	нет	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle +\infty }$	нет	нет	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )}$	нет
Бета-распределение	${\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$	${\displaystyle [0,1]}$	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{{\text{B}}(\alpha ,\beta )}}}$	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}}$ для ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ для ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$	${\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$		${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
хи-квадрат	${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$	${\displaystyle k>0}$ — число степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$	${\displaystyle k}$	примерно ${\displaystyle k-2/3}$	${\displaystyle k-2}$ если ${\displaystyle k\geq 2}$	${\displaystyle 2\,k}$	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$	${\displaystyle 12/k}$	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)}$	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$, если ${\displaystyle 2\,t<1}$
Стьюдента	${\displaystyle {\text{t}}(n)}$	${\displaystyle n>0}$ — число степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {n+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}|t|\right)^{n/2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1}}}}$ для ${\displaystyle n>0}$	${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle n>1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {n}{n-2}}}$, если ${\displaystyle n>2}$	${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle n>3}$	${\displaystyle {\frac {6}{n-4}}}$, если ${\displaystyle n>4}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$	Нет
Фишера	${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ — числа степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}$	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$, если ${\displaystyle d_{2}>2}$		${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$, если ${\displaystyle d_{1}>2}$	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},}$ если ${\displaystyle d_{2}>4}$	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},}$ если ${\displaystyle d_{2}>6}$	${\displaystyle 12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$
Рэлея	${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$	${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}}}}$	${\displaystyle 1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$	${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sigma }$	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}}$	${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle \left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$
Вейбулла	${\displaystyle \mathrm {W} (k,\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$ — коэффициент масштаба, ${\displaystyle k>0}$ — коэффициент формы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}}$	${\displaystyle 1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},}$ для ${\displaystyle k>1}$	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \Gamma (1+{\frac {2}{k}})\lambda ^{2}+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}}$	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\left({\frac {\lambda }{k}}\right)^{k}+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}$
Логистическое	${\displaystyle L(\mu ,s)}$	${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle s>0}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}}$	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)}$ для ${\displaystyle |ist|<1}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 6/5}$	${\displaystyle \ln(s)+2}$	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)}$ для ${\displaystyle |s\,t|<1}$
Вигнера	${\displaystyle \rho (R)}$	${\displaystyle R>0}$ — радиус	${\displaystyle [-R;+R]}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}}$ для ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
Парето	${\displaystyle {\text{Pareto}}(k,x_{\text{m}})}$	${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$ — коэффициент масштаба, ${\displaystyle k>0}$	${\displaystyle [x_{\text{m}};+\infty )}$	${\displaystyle {\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}}$	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m}}t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )}}$	${\displaystyle {\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}}$, если ${\displaystyle k>1}$	${\displaystyle x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}}$	${\displaystyle x_{\text{m}}}$	${\displaystyle \left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}}$ при ${\displaystyle k>2}$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}}$ при ${\displaystyle k>3}$	${\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}}$ при ${\displaystyle k>4}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\text{m}}}}\right)-{\frac {1}{k}}-1}$	нет

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция, ${\displaystyle \gamma }$ — неполная гамма-функция, ${\displaystyle \psi =\Gamma '/\Gamma }$ — дигамма-функция, ${\displaystyle B}$ — бета-функция, ${\displaystyle I_{x}}$ — регуляризованная неполная бета-функция, ${\displaystyle _{1}F_{1}}$, ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ — гипергеометрическая функция, ${\displaystyle J_{\alpha }}$ — функция Бесселя, ${\displaystyle I_{\nu }}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода, ${\displaystyle K_{\nu }}$ — модифицированная функция Бесселя второго рода, ${\displaystyle U(a,b,z)}$ — функция Трикоми.

Многомерные распределения

Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность (последовательность вероятностей)	Матем. ожидание	Дисперсия	Характеристическая функция
Гауссовское	${\displaystyle N(a,\Sigma )}$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ — симм. и неотр. опр.	${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}\Sigma ^{-1}(x-a)}}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle \Sigma }$	${\displaystyle e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}}$

• Распределение вероятностей : [арх. 27 ноября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином, 2009. — 472 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В. Основы теории вероятностей. — М.: МФТИ, 2015. — 82 с.
• Жуковский М.Е., Родионов И.В., Шабанов Д.А. Введение в математическую статистику. — М.: МФТИ, 2017. — 109 с.
• Рамачандран Б. Теория характеристических функций. — М.: Наука, 1975. — 224 с.
• Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
• Губарев В.В. Вероятностные модели: Справочник в 2-х частях. — Новосибирск.: Новосибир. электротехн. ин-т, 1992. — 422 с.

• Маргинальное распределение