Серебряное сечение

Иррациональные числа ln 2 ζ(3) ρ √2 ψ φ √3 √5 τ α e π δ eπ
Система счисления	Оценка числа τ
Двоичная	10,0110101000001001111…
Десятичная	2,4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2,6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая определённое геометрическое соотношение, равное 1+√2, выделяемое в геометрии и эстетически. Это иррациональное (но алгебраическое) число приблизительно равно 2,4142135623730950488… и очень близко к ${\displaystyle {\frac {12}{5}}}$. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 71 / 29^[1].

Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b:

${\displaystyle ~~~~~{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}~}$, где a — большее число, b — меньшее число.

В записях и вычислениях серебряное сечение обычно обозначается как τ (от древнегр. τομή ‘сечение’)^[2][3].

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников Джея Хембриджа. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через ${\displaystyle \tau }$. Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\tau \,.}$

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

• ${\displaystyle \tau =1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$. Это следует из ${\displaystyle (\tau -1)^{2}=2\,.}$

• ${\displaystyle \tau =[2;2,2,2,\dots ]}$ — в виде цепной дроби:

${\displaystyle \tau =2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

• ${\displaystyle \tau =2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}}$.
• ${\displaystyle \tau ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}}}}}}}$.

Отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

${\displaystyle [n;n,n,n,\dots ]}$.

Серебряное сечение связано с углом ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$:

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=1+{\sqrt {2}}}$

Таким образом, серебряное сечение соответствует величине ${\displaystyle \operatorname {ctg} {22.5}^{\circ }}$ — котангенсу угла, который образуется в правильном восьмиугольнике из его стороны, и прямой до ближайшей соседней вершины из наиболее отдалённой вершины этой стороны (одной из двух вершин, лежащих на стороне). То есть угол, получающийся при проведении прямой «через одну» вершину; например, при связывании чётных вершин, или при связывании нечётных вершин.

Кроме того, в правильном восьмиугольнике серебряное сечение используется также в формулах нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей и в вычислении площади фигуры; а также в других ситуациях. Поэтому серебряное сечение описывает геометрические свойства правильного восьмиугольника и в определённом смысле является его «сердцем».

• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Красота математики

• Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90—95, 252.

• Explanation of Silver Means
• Weisstein, Eric W. Silver Ratio (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts