Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ определяется как

${\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}.}$

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

${\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};}$

${\displaystyle A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};}$

${\displaystyle A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}$

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена:

• ${\displaystyle A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$ называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

• ${\displaystyle A_{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$ называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• ${\displaystyle A_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
• В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
• Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ этих чисел:

${\displaystyle \operatorname {max} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n});}$

${\displaystyle \operatorname {min} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Неравенство о средних утверждает, что для любых ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

${\displaystyle A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная ${\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ по ${\displaystyle d}$ неотрицательна и обращается в ноль только при ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

${\displaystyle \max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},}$

где каждое из неравенств обращается в равенство только при ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$.

• Неравенство Швейцера

• И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — Вып. 6. — С. 217—226.