Сферическая оболочка

Сферический слой в трёхмерном пространстве с внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $R$ . Справа: две половины слоя

Сфери́ческий слой^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусов^[2]^[3]^[4].

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка^[5]; шаровой слой^[6]; шаровое кольцо^[7].

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой^[8].

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя^[4].

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество $S$ евклидова пространства $\mathbb {E} ^{n}(w)$ размерности $n$ , которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке $a$ , где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[4]:

S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad

0<r<R

,

или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координат^[9]^[10]:

S=\{z\in \mathbb {E} ^{n}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}

.

Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства $\mathbb {E} ^{3}(w)=\mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[9]:

S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.

В случае трёхмерного вещественного пространства $\mathbb {R} ^{3}(x,\,y,\,z)$ сферический слой $S$ с центром в начале координат можно определить формулой

S=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}\},

причём граница этого сферического слоя состоит из двух следующих сфер^[7]:

S_{r}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\},

S_{R}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.

Объём трёхмерного сферического слоя

Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутри внутренней сферы. В случае трёхмерного пространства $\mathbb {E} ^{3}$ объём сферического слоя

V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})

,

где $R$ — радиус внешней сферы, $r$ — радиус внутренней сферы^[8].

Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом $r$ , внешним радиусом $R$ и толщиной слоя $\Delta r=R-r$ . Если $\Delta r$ очень мало, то есть $\Delta r\ll r$ , то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен $4\pi r^{2}\Delta r$ или $4\pi R^{2}\Delta r$ . Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слоя^[3]^[8].

Доказательство. Пусть $R=r+\Delta r$ (случай $r=R-\Delta r$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получим^[8]:

V={\frac {4}{3}}\pi ((r+\Delta r)^{3}-r^{3})={\frac {4}{3}}\pi (r^{3}+3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3}-r^{3})=

={\frac {4}{3}}\pi (3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3})\approx 4\pi r^{2}\Delta r

.

Примеры использования тонкостенной сферы

Пример 1. Толщина стенки $h$ резинового детского мяча радиуса $R=25$ см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится $5$ % его объёма, плотность резины $\rho =1{,}1$ г/см $^{3}$ , а плотность воды $\rho _{0}=1$ г/см $^{3}$ , равна ${\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4$ мм^[3].

Вывод формулы

Действительно, по закону Архимеда, на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости, вытесненного телом. Эта выталкивающая сила уравновешивает вес мяча, приравняем их. Выталкивающая сила равна

\rho _{0}{\frac {1}{20}}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}g

,

вес мяча равен

\rho 4\pi R^{2}hg

,

где $g$ — ускорение свободного падения, поэтому толщина стенки мяча равна

h={\frac {\rho _{0}4\pi R^{3}g}{20\cdot 3\rho 4\pi R^{2}g}}={\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4

мм^[3].

Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса $\,m_{\text{Г}}$ гелия в лопнувшем при давлении $p=1{,}1$ атм резиновом шарике массой $m=2$ г, который надувался при температуре $t=17$ °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине $\Delta =2\cdot 10^{-3}$ см, плотность резины $\rho =1{,}1$ г/см $^{3}$ , молярная масса гелия $\mu =4$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R=8{,}31$ Дж/(моль·K), равна ${\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47$ г^[3].

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

pV={\frac {m_{\text{Г}}}{\mu }}RT

,

где $V$ — объём газа, $T=t+273{,}15$ К — термодинамическая температура. Сразу получаем выражение для искомой величины

m_{\text{Г}}={\frac {\mu pV}{RT}}

,

где $V$ — пока неизвестная величина. Объём газа

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

,

где $r$ — радиус шарика, который найдём из выражения для массы шарика $m=\rho \Delta 4\pi r^{2}$ , имеем: $r={\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta 4\pi }}}$ . Собирая всё вместе, окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ^[3]:

m_{\text{Г}}={\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47

г.

Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина $h$ слоя озона (O₃), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет $\alpha =10^{-5}$ % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения $g=8,2$ м/с², а температура $T=800$ K, молярная масса озона $\mu =48$ г/моль, универсальная газовая постоянная $R=8{,}31$ Дж/(моль·K), равна ${\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7$ мм^[3].

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

pV={\frac {\alpha M}{\mu }}RT

,

где $p$ — давление на поверхности Венеры, $V$ — объём слоя озона, $M$ — масса атмосферы Венеры, $\mu =48$ г/моль — молярная масса озона. Пусть $S$ — площадь поверхности Венеры, тогда

p\cdot V={\frac {Mg}{S}}\cdot Sh=Mgh

,

и окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ^[3]:

h={\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7

мм.

Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой $m$ и радиусом $r$ , момент равен ${\frac {2}{3}}mr^{2}$ ^[11].

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

{\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}

Примеры использования сферического слоя любой толщины

Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя

В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль^[12].

Примечания

↑ Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
↑ Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.
↑ ¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.
↑ Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.
↑ Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.
↑ ¹ ² Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II, 1981, 52.3. Формула Остроградского — Гаусса…, с. 285.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.
↑ ¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
↑ Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.
↑ Примеры вычисления моментов инерции . StudFiles. Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана.
↑ Однородно заряженный шар; заряженная сфера . all-fizika.

Источники

Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II. М.: «Высшая школа», 1981. 584 с.: ил.
Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. 4-е изд., перераб. и доп. Под ред. И. А. Яковлева. М.: «Наука», 1977. 272 с.: ил.
Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
Aslamazov L. G., Varlamov A. A. The wonders of physics. Scientific Editor A. A. Abrikosov Jr. Translators A. A. Abrikosov Jr & D. Znamenski. Singapore · New Jersey · London · Hong Kong: World Scientific, 2001. [Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)]
Salomon Bochner, William Ted Martin Several Complex Variables. Princeton: Princeton University Press, 1948. 216 p. [Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных. Принстон: Издательство Принстонского университета, 1948.]
Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
Weisstein Eric W. Spherical Shell (англ.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research (2025). Архивировано 24 марта 2025 года.

[1] Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи

[_255fc6d3fd1fcd36-2] Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.

[_c2c81ee703df71b1-3] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.

[_0c17ead1221e24fb-4] ¹ ² ³ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.

[_e93a175e33295f26-5] Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.

[_bafbb370408bdf46-6] Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.

[_3ccdf7729ad4a5ea-7] ¹ ² Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II, 1981, 52.3. Формула Остроградского — Гаусса…, с. 285.

[_2cce28966f034b55-8] ¹ ² ³ ⁴ Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.

[_d4afb23072eb985d-9] ¹ ² Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.

[_e9ae92d55cbf5e00-10] Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.

[11] Примеры вычисления моментов инерции . StudFiles. Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана.

[12] Однородно заряженный шар; заряженная сфера . all-fizika.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]