Теорема Кавасаки

В этом примере знакопеременная сумма углов (по часовой стрелке снизу) равна 90° − 45° + 22,5° − 22,5° + 45° − 90° + 22,5° − 22,5° = 0°. Поскольку сумма равна нулю, паттерн может быть сложен в плоскую фигуру.

Теорема Кавасаки или Теорема Кавасаки — Жастина — это теорема математики оригами, которая описывает паттерны (схемы складок) с единственной вершиной, которые могут быть сложены в плоскую фигуру. Теорема утверждает, что паттерн складывается в плоскую фигуру тогда и только тогда, когда поочерёдное прибавление и вычитание углов между складками вокруг вершины приводит к знакопеременной сумме с нулевым значением. Паттерны с числом вершин, большим единицы, не подчиняются такому простому критерию и их складывание NP-трудно.

Теорема названа именем одного из её открывателей, Тосикадзу Кавасаки. Однако, некоторые другие исследователи также внесли вклад в её открытие и она иногда называется теоремой Кавасаки — Жастина или теоремой Хусими по имени других исследователей, Жака Жастина и Коди Хусими.[1]

Утверждение

Паттерн с одной вершиной состоит из набора лучей или складок, нарисованных на листе бумаги и исходящих из одной точки внутри листа. (Эта точка называется вершиной паттерна.) Каждая складка должна быть сложена, но паттерн не указывает, должна быть складка типа «гора» или «долина». Цель — определить, можно ли сложить бумагу так, что сгиб будет по каждой складке и никаких сгибов не будет в других местах, а результат складывания листа окажется плоским[2].

Чтобы получить плоскую фигуру, число складок должно быть чётным. Это следует, например, из теоремы Маэкавы, которая утверждает, что число складок типа «гора» на сложенном в вершине листе отличается от складок типа «долина» ровно на два сгиба[3] Предположим, что паттерн состоит из 2n складок, и пусть α1, α2, ⋯, α2n будут последовательные углы между складками вокруг вершины по часовой стрелке, начиная с любого из углов. Тогда теорема Кавасаки утверждает, что паттерн может быть сложен плоско тогда и только тогда, когда знакочередующийся ряд углов даст в результате ноль:

α1 − α2 + α3 − ⋯ + α2n − 1 − α2n = 0

Эквивалентный способ утверждения того же условия — разбить на две чередующиеся последовательности, тогда сумма углов в каждой из этих последовательностей в точности равна 180 градусам[4]. Однако это условие применимо только к паттерну на плоском листе бумаги, в то время как условие со знакопеременной суммой остаётся справедливым для паттернов на коническом листе бумаги с ненулевым дефектом в вершине[2].

Локальная и глобальная складываемость в плоскую фигуру

Теорема Кавасаки, применённая к каждой вершине произвольного паттерна, определяет, допускает ли паттерн локально плоское складывание, в смысле, что часть паттерна рядом с вершиной может быть сложена плоско. Однако, существуют паттерны, которые локально складываются плоско, но не допускают глобального плоского складывания (для всего паттерна в целом)[3]. Томас Халл высказал предположение, что глобальня складываемость в плоскую фигуру может быть проверена путём проверки условий теоремы Кавасаки в каждой вершине паттерна, а затем также проверки двудольности неориентированного графа, связанного с паттерном[5]. Однако эту гипотезу опровергли Берн и Хейз, которые показали, что условия Халла не достаточны. Более строго, Берн и Хейз показали, что задача проверки, возможно ли глобальное складывание в плоскую фигуру, является NP-полной задачей[6].

Доказательство

Чтобы показать, что условие Кавасаки обязательно выполняется для любой сложенной плоской фигуры, достаточно заметить, что при каждом сложении ориентация бумаги обращается. Тогда, если первая складка в сложенной плоской фигуре расположена на плоскости параллельно оси x, следующая складка должна быть повёрнута от этой складки на угол α1, складка после этого помещается на угол α1 − α2 (поскольку второй угол имеет обратную ориентацию по отношению к первому), и так далее. Чтобы лист при сложении попал в начальную позицию с конечным углом, условие Кавасаки должно выполняться[3][4][7][8].

Чтобы показать, что условие также является достаточным, нужно описать, как складывать даннный паттерн, чтобы получить плоскую фигуру. То есть, нужно показать, как выбирать тип сгибания («гора» или «долина»), и в каком порядке сгибания бумаги должны осуществляться. Один способ осуществить это — выбрать номер i так, что частичная знакопеременная сумма

α1 − α2 + α3 − ⋯ + α2i − 1 − α2i

будет как можно меньше. Тогда либо i = 0 и частичная сумма является пустой суммой (а значит, тоже равной нулю), либо для некоторого ненулевого i частичная сумма будет отрицательной. Складываем гармошкой паттерн, начав с угла α2i + 1, и чередуем гору и долину, помещая каждый угловой клин бумаги под предыдущими складками. На каждом шаге вплоть до конечного сгиба складки гармошкой такого типа никогда не будут самопересекаться. Выбор i гарантирует, что первый клин будет выступать слева от всех остальных сложенных частей листа, позволяя последнему клину соединиться с ним[5].

Альтернативное доказательство достаточности может быть использовано, чтобы показать, что имеется много различных плоских складываний. Рассмотрим наименьший угол αi и две складки по обе стороны этого угла. Используем тип «гора» для одной складки и тип «долина» для другой, произвольно выбирая, какую складку использовать для каждой складки. Затем приклеиваем получившийся кусок в оставшуюся часть паттерна. Результат этого приклеивания будет паттерн с меньшим числом складок (на две меньше) на коническом листе бумаге, который продолжает удовлетворять условию Кавасаки. Следовательно, по индукции, повторение этого процесса в конечном итоге приведет к плоскому складыванию. База индукции — конус только с двумя сгибами и двумя равноугольными клиньями, который очевидно может быть сложен в плоскую фигуру с помощью складывания «гора» в обоих складках. Имеется два пути выбора, какую складку использвоать на каждом шаге этого метода, и каждый шаг исключает две складки. Поэтому любой паттерн с 2n складками, который удовлетворяет условию Кавасаки, имеет по меньшей мере 2n различных выборов сгибания типа «гора» или «долина», которые ведут к плоскому сложенному результату[9].

История

В конце 1970-х Коди Хусими и Дэвид Хаффман независимо заметили, что противоположные углы сложенных плоских фигур с четырьмя складками в сумме дают 180°, что является частным случаем теоремы Кавасаки[10][11]. Хаффман включил этот результат статью 1976 об оригами[12], а Хусими опубликовал теорему о четырёх складках в книге о геометрии оригами (совместно с женой Мицуэ Хусими)[13]. Тот же результат был опубликован даже ранее в паре статей 1966 года С. Мураты, где был включён случай шести складок и общий случай теоремы Маэкавы[14].

Факт, что паттерн с произвольным числом складок обязательно имеет чередующиеся суммы углов 180°, был открыт Кавасаки, Стюартом Робертсоном и Жаком Жастином (опять же, независимо друг от друга) в конце 1970-х годов и начале 1980-х[6][10][15][16][17][18]. Ввиду вклада Жастина теорема Кавасаки называют также теоремой Кавасаки — Жастина[19]. Факт, что условие достаточно, то есть, что паттерны с чётным числом углов, которые поочерёдно в сумме дают 180°, могут всегда быть сложенными, впервые утверждал Халл[5].

Сам Кавасаки называл результат теоремой Хусими и некоторые авторы последовали также этой терминологии[7][20]. Название «теорема Кавасаки» впервые было дано в книге Origami for the Connoisseur (Оригами для Знатоков[21]) Кунихико Касахары и Тоши Такахамы[3].

Халл приписываеи нижнюю границу в 2n для числа различных плоских складываний паттерна, удовлетворяющего условиям теоремы, незвисимым работам в начале 1990-х годов Азумы[22], Жастина[17], Эвинса и Халла[9].

Хотя теорема Кавасаки полностью описывает паттерны, которые дают в результае плоский результат, она не описывает процесс складывания, приводящий к этому состоянию. Для некоторых (имеющих несколько вершин) паттернов необходимо согнуть бумагу в процессе складывания из листа в сложенный плоский объект, а не сохранять остаток бумаги плоским и менять только двугранные углы при каждом складывани. Для жёсткого оригами (раздел оригами, имеющий дело с плоскими жёсткими листами, соединёнными шарнирами), условие теоремы Кавасаки оказывается достаточным для паттерна с одной вершиной, чтобы он перешёл из развернутого состояния (из листа) в сложенное плоско состояние[23].

Примечания

  1. ↑ Имя «Yasuji Husimi» (Ясуджи Хусими), появившееся в работе Кавасаки (Kawasaki,2005) и иногда ассоциирующееся с данной теоремой, является неправильным прочтением кандзи написания «康治» имени Коди Хусими.
  2. ↑ 1 2 Tom Hull. The combinatorics of flat folds: a survey // Origami3: Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education. — AK Peters, 2002. — С. 29–38. — ISBN 978-1-56881-181-9. — . — arXiv:1307.1065..
  3. ↑ 1 2 3 4 Tom Hull. MA 323A Combinatorial Geometry!: Notes on Flat Folding. Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 года..
  4. ↑ 1 2 Claudi Alsina, Roger Nelsen. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — С. 57. — (Dolciani Mathematical Expositions). — ISBN 978-0-88385-348-1..
  5. ↑ 1 2 3 Tom Hull. On the mathematics of flat origamis // Congressus Numerantium. — 1994. — Т. 100. — С. 215–224..
  6. ↑ 1 2 Marshall Bern, Barry Hayes. The complexity of flat origami // Proc. 7th ACM-SIAM Symposium on Discrete algorithms (SODA '96). — 1996. — С. 175–183. — ISBN 9780898713664..
  7. ↑ 1 2 Toshikazu Kawasaki. Roses, Origami & Math. — Japan Publications Trading, 2005. — С. 139. — ISBN 978-4-88996-184-3..
  8. ↑ Erik Demaine. Sept. 15: Single-vertex crease patterns // Course Notes for 6.849: Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra. — Massachusetts Institute of Technology, 2010..
  9. ↑ 1 2 Tom Hull. Counting mountain-valley assignments for flat folds // Ars Combinatoria. — 003. — Т. 67. — С. 175–187. Архивировано из оригинала 29 августа 2021 года..
  10. ↑ 1 2 Tom Hull. Maekawa and Kawasaki's Theorems Revisited and Extended // Guest lecture, 6.849. — Massachusetts Institute of Technology, 2010..
  11. ↑ Margaret Wertheim. Cones, Curves, Shells, Towers: He Made Paper Jump to Life // New York Times. — 2004. — 1 июня..
  12. ↑ David A. Huffman. Curvature and creases: A primer on paper // IEEE Transactions on Computers. — 1976. — Т. C-25, вып. 10. — С. 1010–1019. — doi:10.1109/TC.1976.1674542..
  13. ↑ Kôdi Husimi, M. Husimi. The Geometry of Origami (яп.). — Tokyo: Nihon Hyouronsha, 1979.. 2nd ed., 1984, ISBN 978-4535781399.
  14. ↑ S. Murata. The theory of paper sculpture, I (яп.) // Bulletin of Junior College of Art. — 1966. — 第4巻. — 第61–66 頁.; S. Murata. The theory of paper sculpture, II (яп.) // Bulletin of Junior College of Art. — 1966. — 第5巻. — 第29–37 頁..
  15. ↑ S. A. Robertson. Isometric folding of Riemannian manifolds. — Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. — 1977. — Т. 79. — С. 275–284. — (Section A: Mathematics). — doi:10.1017/s0308210500019788..
  16. ↑ J. Justin. Mathematics of origami, part 9 // British Origami. — 1986. — Июнь. — С. 30.. Как процитировано Халлом.
  17. ↑ 1 2 J. Justin. Towards a mathematical theory of origami // 2nd Int. Meeting of Origami Science. — Otsu, Japan, 1994.. Как процитировано у Берна и Хейза.
  18. ↑ Toshikazu Kawasaki. On the relation between mountain-creases and valley-creases of a flat origami // Origami Science and Technology. — 1989. — С. 229–237.. Как процитировано у Берна и Хейза.
  19. ↑ Joseph O'Rourke. 4.5 The Kawasaki–Justin theorem // How To Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami, and Polyhedra. — Cambridge University Press, 2011. — С. 66–68..
  20. ↑ K. Kaino,. Four-dimensional geometry and folding regular tetrahedron // Statistical and condensed matter physics: over the horizon. — Nova Publishers, 2007. — С. 101–112 [102]. — ISBN 978-1-60021-758-6..
  21. ↑ Кунихико Касахара, Тоши Такахама. Оригами для Знатоков. — второе. — ALSIO, 1988. — ISBN 5-86892-080-5.
  22. ↑ H. Azuma. Some mathematical observation on flat foldings // 2nd Int. Meeting of Origami Science. — Otsu, Japan, 1994.. Как процитировано у Халла (Hull (2003))
  23. ↑ Zachary Abel, Jason Cantarella, Erik D. Demaine, David Eppstein, Thomas C. Hull, Jason S. Ku, Robert J. Lang, Tomohiro Tachi. Rigid origami vertices: conditions and forcing sets // Journal of Computational Geometry. — 2016. — Т. 7, вып. 1. — С. 171–184..

Ссылки

Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.