Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Рассмотрим пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Точку пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ будем обозначать через ${\displaystyle (x,t)=(x_{1},...,x_{n},t)}$, а точку, принадлежащую ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, через ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$. Обозначим оператор частного дифференцирования

${\displaystyle L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{\nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}.}$

Предположим, что коэффициенты оператора ${\displaystyle L}$ определены в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат в пространстве переменных ${\displaystyle (x,t)}$ и являются аналитическими функциями. Пусть функция ${\displaystyle f}$ также аналитична в ${\displaystyle U}$. Пусть вектор ${\displaystyle \Psi }$ начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат ${\displaystyle x}$-пространства. Тогда существуют окрестность ${\displaystyle W}$ начала координат и единственная аналитическая функция ${\displaystyle u(x,t)}$, определённая в ${\displaystyle W}$, для которой

${\displaystyle Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m-1).\qquad (1)}$

Положим

${\displaystyle {\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x).}$

Тогда из ${\displaystyle (1)}$ вытекает, что

${\displaystyle L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\left[{\frac {t^{j}}{j!}}u_{j}(x)\right].}$

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для ${\displaystyle u(x,t)}$ равны нулю. Перепишем ${\displaystyle (1)}$ в виде

${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j}(x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t),\qquad (2)}$

где ${\displaystyle {\alpha }_{j}(x,t;{\xi })}$ — полином по ${\displaystyle \xi }$ степени ${\displaystyle m-j}$, коэффициенты которого аналитичны в окрестности ${\displaystyle U}$ начала координат. Легко видеть, что коэффициенты ${\displaystyle c_{\nu ,j}}$ разложения в ряд Тейлора

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu }c_{\nu ,j}x^{\nu }t^{j}\qquad (3)}$

определяются однозначно уравнением ${\displaystyle (2)}$ и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда ${\displaystyle (3)}$.

Для доказательства сходимости ряда ${\displaystyle (3)}$ используются мажорантные ряды и полиномы. Функция ${\displaystyle F(x,t)}$ называется мажорантным рядом для ${\displaystyle f(x,t)}$ в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты ${\displaystyle C_{\mu ,j}}$ её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов ${\displaystyle c_{\mu ,j}}$ разложения функции ${\displaystyle f(x,t)}$ в ряд Тейлора, то есть ${\displaystyle C_{\mu ,j}\geqslant |c_{\mu ,j}|}$.

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

• Задача Коши
• Теорема Хольмгрена

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
• О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117