Теорема котангенсов

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle ABC}$ со вписанной окружностью - ${\displaystyle \omega (O,r)}$ ; сторонами ${\displaystyle AB,BC,AC}$ и углами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$.

Так как точка пересечения биссектрис совпадает с центром вписанной окружности ${\displaystyle O}$ (см. инцентр) , проведем биссектрисы ${\displaystyle AO,BO,CO}$ и проведем радиусы ${\displaystyle OH_{1},OH_{2},OH_{3}}$ к сторонам ${\displaystyle AC,AB,BC}$ соответственно.

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle AOH_{2}}$. По свойству радиуса вписанной окружности в треугольник , ${\displaystyle OH_{2}}$ перпендикулярно стороне ${\displaystyle AB}$, тогда треугольник ${\displaystyle AOH_{2}}$ - прямоугольный.

Так как бисcектриса ${\displaystyle AO}$ делит угол ${\displaystyle \alpha }$ на две равные части, то ${\displaystyle \angle H_{2}AO={\frac {\alpha }{2}}}$, тогда ${\displaystyle \mathrm {ctg} {(\angle H_{2}AO)}=\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {AH_{2}}{OH_{2}}}}$. Выразим радиус ${\displaystyle OH_{2}}$.

${\displaystyle OH_{2}=r={\frac {AH_{2}}{\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}}}}$

Выразим ${\displaystyle AH_{2}}$ через ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle AH_{2}=AB-BH_{2}}$

${\displaystyle BH_{2},BH_{3}}$ - касательные к окружности, проведенные из одной точки, тогда по свойству касательных ${\displaystyle BH_{2}=BH_{3}}$

Выразим ${\displaystyle BH_{3}}$ через ${\displaystyle BC}$

${\displaystyle BH_{3}=BC-CH_{3}}$

${\displaystyle CH_{3},CH_{1}}$ - касательные к окружности, проведенные из одной точки, тогда по свойству касательных ${\displaystyle CH_{3}=CH_{1}}$

Выразим ${\displaystyle CH_{1}}$ через ${\displaystyle AC}$

${\displaystyle CH_{1}=AC-AH_{1}}$

${\displaystyle AH_{1},AH_{2}}$ - касательные к окружности, проведенные из одной точки, тогда по свойству касательных ${\displaystyle AH_{1}=AH_{2}}$

Подставим все вместо ${\displaystyle AH_{2}}$.

${\displaystyle AH_{2}=AB-(BC-(AC-AH_{2}))=AB-BC+AC-AH_{2}}$

Выражая ${\displaystyle AH_{2}}$ получим

${\displaystyle AH_{2}={\frac {AB-BC+AC}{2}}={\frac {AB+BC+AC}{2}}-BC=p-BC}$

Подставим все в исходное уравнение

${\displaystyle r={\frac {p-BC}{\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}}}}$

Аналогично рассматривая треугольники ${\displaystyle BOH_{3}}$ и ${\displaystyle COH_{2}}$, получим

${\displaystyle r={\frac {p-BC}{\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {p-AC}{\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}}}={\frac {p-AB}{\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}}}}$.