Треугольная мозаика порядка 7

Треугольная мозаика порядка 7
Тип Однородная гиперболическая мозаика
Конфигурация вершины 37
Символ Шлефли {3,7}
Символ Витхоффа 7 | 3 2
Симметрии [7,3], (*732)
Диаграммы Коксетера — Дынкина node7node3node_1
Двойственная мозаика Семиугольная мозаика
Свойства изогональная, хиральная

Треугольная мозаика порядка 7 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости с символом Шлефли {3,7}.

Соты {3,3,7} ииеют в качестве вершинной фигуры мозаику {3,7}.

Поверхность Гурвица

Подробное рассмотрение темы: Поверхность Гурвица

Группа симметрии мозаики — группа треугольника (2,3,7), а фундаментальной областью действий группы является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной, покрывая все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), задавая им триангуляризацию, группа симметрии которой равна группе автоморфизмов римановой поверхности.

Наименьшая из них — квартика Клейна, поверхность рода 3 с наибольшей симметрией, вместе с мозаикой из 56 треугольников, сходящихся в 24 вершинах. Квартика имеет в качестве группы симметрии простую группу порядка 168, известную как PSL(2,7). Результирующая поверхность может, в свою очередь, быть погружена в евклидово трёхмерное пространство, давая малый кубокубооктаэдр[1].

Двойственная мозаика для семиугольной мозаики порядка 3 имеет ту же группу симметрии, а потому даёт семиугольные мозаики поверхностей Гурвица.


Группа симметрии треугольной мозаики порядка 7 имеет в качестве фундаментальной области треугольник Шварца (2,3,7), которая приводит к этой мозаике.
Малый кубокубооктаэдр является многогранным вложением

квартики Клейна[1], которая, подобно всем поверхностям Гурвица, является фактор-мозаикой.

Связанные многогранники и мозаики

Мозаика связана с двумя звёздными мозаиками, имея то же расположение вершин: Гептаграммная мозаика порядка 7, {7/2,7} и Семиугольная мозаика с гептпаграмным порядком, {7,7/2}.

Эта мозаика является топологически частью последовательности правильных многогранников с символом Шлефли {3,p}.

*n32 симметрии правильных мозаик: 3n or {3,n}
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-
компактная 		Некомпактная гиперболическая
3.3 33 34 35 36 37 38 3∞ 312i 39i 36i 33i

Эта мозаика является частью ряда правильных мозаик {n,7}:

Мозаики вида {n,7}
Сферические Гиперболические мозаики

{2,7}
node_12node7node
{3,7}
node_13node7node
{4,7}
node_14node7node
{5,7}
node_15node7node
{6,7}
node_16node7node
{7,7}
node_17node7node
{8,7}
node_18node7node 		...
{∞,7}
node_1infinnode7node

По построению Витхоффа существует восемь гиперболических однородных мозаик, которые могут основываться на правильной семиугольной мозаике.

Если рисовать плитки раскрашенными в красный цвет на месте исходных восьмиугольников, в жёлтый цвет на месте исходных вершин и в синий цвет на месте исходных рёбер, имеется 8 форм.

Смотрите также

Примечания

  1. ↑ 1 2 (Richter) Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per this explanatory image.

Литература

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // . — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • H. S. M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .
  • David A. Richter. How to Make the Mathieu Group M24. Дата обращения: 15 апреля 2010.

Ссылки

Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.