Треугольная мозаика порядка 8
| Треугольная мозаика порядка 8 | |
|---|---|
| |
| Тип | Гиперболическая правильная мозаика |
| Конфигурация вершины | 38 |
| Символ Шлефли | {3,8} (3,4,3) |
| Символ Витхоффа | 8 | 3 2 4 | 3 3 |
| Симметрии | [8,3], (*832) [(4,3,3)], (*433) [(4,4,4)], (*444) |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |     или  
|
| Двойственные соты | восьмиугольная мозаика |
| Свойства | Изогональная, изотоксальная, изоэдральная |
Треугольная мозаика порядка 8 — это правильная мозаика на гиперболической плоскости. Мозаика имеет символ Шлефли {3,8}, у неё восемь правильных треугольников вокруг каждой вершины.
Однородные раскраски
Полусимметрия [1+,8,3] = [(4,3,3)] может быть показана чередующейся двухцветной раскраской треугольников:
Симметрия
.Исходя из симметрии [(4,4,4)], имеется 15 подгупп с малым индексом (7 уникальных), получаемых удалением зеркального отражения и и операцией альтернации. Зеркала могут быть удалены, если их порядки ветвей все чётные, и удаление приводит к уменьшению порядков соседних ветвей вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка в месте пересечения зеркал. На рисунках фундаментальные области выкрашены с чередованием цветов и зеркала находятся на границах между областями разного цвета. Добавление 3 зеркал в каждую фундаментальную область создаёт симметрию 832. Группа с индексом 8 [(1+,4,1+,4,1+,4)] (222222) является коммутантом группы [(4,4,4)].
Подгруппа [(4,4,4*)] с индексом 8, построенная из (2*2222) путём удаления точек вращения, становится (*22222222).
Симметрия может быть удвоена до симметрии 842 путём добавления зеркал в фундаментальные области.
| Индек | 1 | 2 | 4 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Диаграмма | 
|
|
|
|
|
|
| Коксетер | [(4,4,4)]
|
[(1+,4,4,4)] = 
|
[(4,1+,4,4)] = 
|
[(4,4,1+,4)] = 
|
[(1+,4,1+,4,4)]
|
[(4+,4+,4)] 
|
| Орбифолд | *444 | *4242 | 2*222 | 222× | ||
| Диаграмма | 
|
|
|
|
| |
| Коксетер | [(4,4+,4)]
|
[(4,4,4+)] 
|
[(4+,4,4)]
|
[(4,1+,4,1+,4)]
|
[(1+,4,4,1+,4)] =
| |
| Орбифолд | 4*22 | 2*222 | ||||
| Прямые подгруппы | ||||||
| Индекс | 2 | 4 | 8 | |||
| Диаграмма | 
|
|
|
|
| |
| Коксетер | [(4,4,4)]+
|
[(4,4+,4)]+ = 
|
[(4,4,4+)]+ =
|
[(4+,4,4)]+ =
|
[(4,1+,4,1+,4)]+ = 
| |
| Орбифолд | 444 | 4242 | 222222 | |||
| Радикальные подгруппы | ||||||
| Индекс | 8 | 16 | ||||
| Диаграмма | 
|
|
|
|
|
|
| Коксетер | [(4,4*,4)] | [(4,4,4*)] | [(4*,4,4)] | [(4,4*,4)]+ | [(4,4,4*)]+ | [(4*,4,4)]+ |
| Орбифолд | *22222222 | 22222222 | ||||
Связанные многогранники и мозаики
| Сферическая | Евклидова | Компактная гипербол. | Пара- компактная |
Некомпактная гиперболическая | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 3.3 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 3∞ | 312i | 39i | 36i | 33i |
Исходя из построения Витхоффа существует десять гиперболических однородных мозаик, которые базируются на правильных мозаиках - восьмиугольной и треугольной порядка 8.
Если рисовать мозаики, выкрашивая красным цветом исходные грани, жёлтым цветом исходные вершины и синим цветом исходные рёбра, получим 10 форм.
| Однородные восьмиугольные/треугольные мозаики | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [8,3], (*832) | [8,3]+ (832) |
[1+,8,3] (*443) |
[8,3+] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s2{3,8} |
tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h2{8,3} | s{3,8} | |||
 
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
  
|
|
|
  или 
|
или
|
| ||||||||
|
|
 
|
 
|
|
|
|
|
 
|
|
 
| |||
| Однородные двойственные | |||||||||||||
| V83 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V38 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V34.8 | V(3.4)3 | V8.6.6 | V35.4 | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Правильные мозаики {n,8} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферические | Гиперболические мозаики | ||||||||||
 {2,8} 
|
{3,8}
|
 {4,8}
|
 {5,8} 
|
 {6,8}
|
 {7,8} 
|
 {8,8}
|
... |  {∞,8} 
| |||
Мозаика также может быть получена из (4 3 3) гиперболических мозаик:
| Однородные мозаики (4,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [(4,3,3)], (*433) | [(4,3,3)]+, (433) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| h{8,3} t0(4,3,3) |
r{3,8}1/2 t0,1(4,3,3) |
h{8,3} t1(4,3,3) |
h2{8,3} t1,2(4,3,3) |
{3,8}1/2 t2(4,3,3) |
h2{8,3} t0,2(4,3,3) |
t{3,8}1/2 t0,1,2(4,3,3) |
s{3,8}1/2 s(4,3,3) | ||||
| Однородные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V(3.4)3 | V3.8.3.8 | V(3.4)3 | V3.6.4.6 | V(3.3)4 | V3.6.4.6 | V6.6.8 | V3.3.3.3.3.4 | ||||
| Однородные мозаики (4,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)]+ (444) |
[(1+,4,4,4)] (*4242) |
[(4+,4,4)] (4*22) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| t0(4,4,4) h{8,4} |
t0,1(4,4,4) h2{8,4} |
t1(4,4,4) {4,8}1/2 |
t1,2(4,4,4) h2{8,4} |
t2(4,4,4) h{8,4} |
t0,2(4,4,4) r{4,8}1/2 |
t0,1,2(4,4,4) t{4,8}1/2 |
s(4,4,4) s{4,8}1/2 |
h(4,4,4) h{4,8}1/2 |
hr(4,4,4) hr{4,8}1/2 | ||
| Однородные двойственные | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V88 | V(4,4)3 | ||
См. также
- Тетраэдральные соты порядка 8
- Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
- Список однородных мозаик на плоскости
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
Литература
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 19 The Hyperbolic Archimedean Tessellations) // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
- Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8. — .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hyperbolic tiling (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Poincaré hyperbolic disk (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
- KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings
- Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch