Удлинённая треугольная мозаика

Удлинённая треугольная мозаика
Тип Полуправильная мозаика
Конфигурация вершины
3.3.3.4.4
Символ Шлефли {3,6}:e
s{∞}h1{∞}
Символ Витхоффа 2 | 2 (2 2)
Симметрии cmm, [∞,2+,∞], (2*22)
Диаграммы Коксетера — Дынкина nodeinfinnode_h2xnode_hinfinnode_1
node_hinfinnode_h2xnode_hinfinnode_1
Двойственная мозаика Призматическая пятиугольная мозаика
Акроним Бауэрса Etrat
Свойства изогональная

Удлинённая треугольная мозаика — это полуправильная мозаика на евклидовой плоскости. Мозаика имеет три треугольника и два квадрата при каждой вершине. Мозаика называется треугольной мозаикой, удлинённой рядами квадратов, и она имеет символ Шлефли {3,6}:e.

Конвей назвал эту мозаику isosnub quadrille (изокурносый квадропаркет)[1].

Имеется 3 правильных и 8 полуправильных мозаик на плоскости. Эта мозаика похожа на плосконосую квадратную мозаику, которая также имеет 3 треугольника и два квадрата в каждой вершине, но порядок элементов другой.

Построение

Мозаика является единственной выпуклой однородной мозаикой, которая не может быть создана с помощью построения Витхоффа. Она может быть построена как чередующиеся слои бесконечноугольных призм и бесконечноугольных антипризм.

Однородные раскраски

Существует одна однородная раскраска удлинённой треугольной мозаики. Две 2-однородных раскраски имеют одну вершинную фигуру, 11123, и два цвета квадратов, но они не являются 1-однородными. Строки повторяются либо отражением, либо скользящим отражением и в общем случае каждая строка квадратов может быть сдвинута независимо. 2-Однородные мозаики называются также архимедовыми раскрасками. Имеется бесконечное число вариантов этих архимедовых раскрасок с произвольными сдвигами в цветах строки квадратов.

11122 (1-uniform) 11123 (2-однородная или 1-архимедова)
cmm (2*22) pmg (22*) pgg (22×)

Упаковка окружностей

Удлинённая треугольная мозаика может быть использована для упаковки кругов, если располагать круги одинакового диаметра с центрами в каждой вершине. Каждый круг касается 5 других кругов в упаковке (контактное число)[2].

Связанные мозаики

Сектора слоёв треугольников и квадратов могут быть комбинированы в радиальные формы. Такая конструкция смешивает две конфигурации вершин, 3.3.3.4.4 и 3.3.4.3.4 на переходах. Чтобы замостить плоскость с различной концигурацией центра, нужно двенадцать секторов. Двойственные мозаики образуются пятиугольниками каирской пятиугольной мозаики[3].

Примеры радиальных форм
Центр Треугольник Квадрат Шестиугольник
Симметрия [3] [3]+ [2] [4]+ [6] [6]+

Tower

Dual

Варианты симметрии

Мозаика является первой в серии вариантов симметрии[4] гиперболических однородных мозаик с симметрией 2*n2 в орбифолдной нотации, вершинной фигурой 4.n.4.3.3.3 и диаграммой Коксетера — Дынкина nodeultranode_hnnode_hultranode_1. Их двойственные мозаики имеют шестиугольные грани в гиперболической плоскости с конфигурацией грани V4.n.4.3.3.3.

Варианты симметрии 2*n2 однородных мозаик: 4.n.4.3.3.3
4.2.4.3.3.3 4.3.4.3.3.3 4.4.4.3.3.3
2*22 2*32 2*42
nodeinfinnode_h2xnode_hinfinnode_1 nodeultranode_h3node_hultranode_1 или branch_hh2a2b-crossnodes_01 nodeultranode_h4node_hultranode_1 или label4branch_hh2a2b-crossnodes_01

Существует четыре связанных 2-однородных мозаики, с 2 или 3 рядами треугольников или квадратов[5][6].

Дважды удлинённая Трижды удлинённая Наполовину удлинённая На треть удлинённая

Призматическая пятиугольная мозаика

Призматическая пятиугольная мозаика
Тип Двойственная однородная мозаика
Группа орнамента cmm, [∞,2+,∞], (2*22)
Диаграммы Коксетера — Дынкина nodeinfinnode_fh2xnode_fhinfinnode_f1
node_fhinfinnode_fh2xnode_fhinfinnode_f1
Двойственная мозаика Удлинённая треугольная мозаика
Свойства изоэдральная
Грани неправильные пятиугольники V3.3.3.4.4

Призматическая пятиугольная мозаика — это двойственная однородная мозаика на евклидовой плоскости. Это одна из 15 известных изодральных пятиугольных мозаик. Она может рассматриваться как растянутый шестиугольный паркет со множеством параллельных секущих прямых через шестиугольники.

Конвей назвал эту мозаику iso(4-)pentille (изо(4-)пятипаркетом)[7]. Каждая из пятиугольных граней мозаики имеет три угла в 120° и два в 90°.

Мозаика связана с каирской пятиугольной мозаикой с конфигурацией грани V3.3.4.3.4.

Геометрические варианты

Пятиугольный паркет из одной выпуклой плитки типа 6 имеет ту же топологию, но две длины рёбер и меньшую по симметрии группу орнамента p2 (2222):


a=d=e, b=c
B+D=180°, 2B=E

Связанные 2-однородные двойственные мозаики

Имеется четыре связанные 2-однородные двойственные мозаики с рядами квадратов или шестиугольников.

Двойственные: Дважды удлинённая Двойственные: Трижды удлинённая Двойственные: Наполовину удлинённая Двойственные: Удлинённая на треть
Двойственные: [44; 33.42]1 (t=2,e=4) Двойственные: [44; 33.42]2 (t=3,e=5) Двойственные: [36; 33.42]1 (t=3,e=4) Двойственные: [36; 33.42]2 (t=4,e=5)

См. также

Примечания

  1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 288 table, 288 table.
  2. ↑ Critchlow, 1970, с. 74-75.
  3. ↑ aperiodic tilings by towers Andrew Osborne 2018
  4. ↑ Two Dimensional symmetry Mutations by Daniel Huson
  5. ↑ Chavey, 1989, с. 147-165.
  6. ↑ Uniform Tilings. Архивировано из оригинала 9 сентября 2006 года.
  7. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 288 table.

Литература

  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Chapter 2.1: Regular and uniform tilings // Tilings and Patterns. — New York: W. H. Freeman, 1987. — С. 58-65. — ISBN 0-7167-1193-1.
  • Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — С. 37. — ISBN 0-486-23729-X.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Keith Critchlow. Pattern Q2, Dual // Order in Space: A design source book. — 1970. — С. 69-61, 77-76, pattern 6.
  • Dale Seymour, Jill Britton. Introduction to Tessellations. — 1989. — С. 50–56. — ISBN 978-0866514613.
  • D. Chavey. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.


Ссылки

Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.