Формула Лейбница (производной интеграла с параметром)

Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

Пусть функция ${\displaystyle f(x,\;y)}$ непрерывна вместе со своей первой производной ${\displaystyle {\partial f(x,\;y) \over \partial y}}$ на прямоугольнике ${\displaystyle [\alpha ,\;\beta ]\times [c,\;d]}$ (отрезок ${\displaystyle [\alpha ,\;\beta ]}$ включает в себя множества значений ${\displaystyle a(y),\;b(y)}$, a функции ${\displaystyle a(y),\;b(y)}$ дифференцируемы на ${\displaystyle [c,\;d]}$). Тогда интеграл ${\displaystyle I(y)=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,\;y)\,dx}$ дифференцируем по ${\displaystyle y}$ на ${\displaystyle [c,\;d]}$ и справедливо равенство

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}I(y)={\frac {d}{dy}}\int _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx=f{\big (}b(y),y{\big )}\cdot {\frac {d}{dy}}b(y)-f{\big (}a(y),y{\big )}\cdot {\frac {d}{dy}}a(y)+\int _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.}$

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Ч.1. — 2-е изд., перераб. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.