Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Также она верна для липшицевых и соболевских функций^[1].

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ есть область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ — липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\wedge ^{k}d_{x}u|\cdot dx=\int \limits _{\mathbb {R} ^{k}}dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-k}\right),}$

где ${\displaystyle \wedge ^{k}d_{x}u}$ обозначает внешнее произведение ${\displaystyle k}$ копий дифференциала ${\displaystyle d_{x}u}$, а ${\displaystyle H_{n-k}}$ — ${\displaystyle (n-k)}$-мерная хаусдорфова мера.

• Для вещественнозначной функции ${\displaystyle u}$, формула коплощади имеет вид

  ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\nabla u(x)|\cdot dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right),}$

где ${\displaystyle \nabla u}$ — градиент ${\displaystyle u}$.

• В случае ${\displaystyle n=k}$, мера Хаусдорфа ${\displaystyle H_{n-k}=H_{0}}$ есть считающая мера, а ${\displaystyle \wedge ^{k}d_{x}u}$ есть якобиан ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle x}$. Поэтому формулу можно переписать следующим образом

  ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |{\tfrac {\partial u}{\partial x}}|\cdot dx=\int \limits _{\mathbb {R} ^{k}}dt\cdot \left(\sum \limits _{x\in u^{-1}(t)}g(x)\right).}$

Данная формула также называется формулой площади.

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.