Функция Клаузена

Функция Клаузена — трансцендентная специальная функция одной переменной; в основной форме (функция Клаузена второго порядка) задаётся интегралом:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$.

Введена Томасом Клаузеном в 1832 году; в дальнейшем получила ряд обобщений, образовав целый класс, идентифицируемый как функции Клаузена. Функции этого класса могут быть выражена в виде определённого интеграла, тригонометрического ряда и в других формах; тесно связаны с полилогарифмом, интегральным арктангенсом полигамма-функцией, дзета-функцией Римана, эта-функцией Дирихле и бета-функцией Дирихле. Широко используются во многих областях современных математических исследований, в частности в связи с вычислением многих классов логарифмических и полилогарифмических интегралов, как определённых, так и неопределённых. Они также имеют многочисленные приложения, связанные с суммированием гипергеометрических рядов, суммированием с обратным центральным биномиальным коэффициентом, суммированием полигамма-функций и L-рядов Дирихле

В диапазоне ${\displaystyle 0<\varphi <2\pi \ }$ синус под знаком модуля в определении функции Клаузена второго рода остаётся строго положительным, поэтому модуль можно опустить. Представление в виде ряда Фурье:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots }$

Имеет простые нули во всех точках вида ${\displaystyle k\pi }$, так как если ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle \sin k\pi =0}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }$

Максимумы достигаются при ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots }$,

а минимумы — в ${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots }$.

Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения в виде ряда:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Две обобщённые функции Клаузена определяются следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}$,

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$,

они сходятся при комплексных ${\displaystyle z}$ с ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}$. Определение может быть продолжено на всю комплексную плоскость посредством аналитического продолжения.

Если ${\displaystyle z}$ заменить на неотрицательное целое число, можно определить стандартные функции Клаузена следующими рядами Фурье:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$

Sl-функции Клаузена имеют альтернативную запись: ${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )}$ и иногда называются функциями Глейшера — Клаузена в честь Джеймса Уитбреда Ли Глейшера.

SL-функции Клаузена' представляют собой многочлены от ${\displaystyle \theta }$ и тесно связаны с многочленами Бернулли, которая видна из представлений многочленов Бернулли в виде ряда Фурье:

${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}}$,

${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}}$.

Введение замены ${\displaystyle x=\theta /2\pi }$ и перестановка членов дают следующие выражения в замкнутом виде:

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)}$,

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)}$,

где многочлены Бернулли ${\displaystyle B_{n}(x)}$ определяются через числа Бернулли ${\displaystyle B_{n}\equiv B_{n}(0)}$ по соотношению:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}}$.

Из этой связи следуют, в частности, соотношения:

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}}}$,

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}}}$,

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}}}$,

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}}$.

При ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$ формулу двойного аргумента можно доказать непосредственно из определения интеграла:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$.

Обозначив константу Каталана через ${\displaystyle G=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$, непосредственные следствия формулы удвоения включают соотношения:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {G}{2}}}$,

${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}$.

Для функций Клаузена более высокого порядка формулы удвоения можно получить из приведенной выше, заменив${\displaystyle \theta }$ с фиктивной переменной ${\displaystyle x}$ и интегрируя по интервалу ${\displaystyle [0,\theta ]}$; повторное применение того же процесса даёт:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}$.

И в более общем смысле, при индукции по ${\displaystyle m\geqslant 1}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]}$.

Использование общей формулы двойного аргумента позволяет расширить результат для функции Клаузена 2-го порядка, использовав константу Каталана. При ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \geq 1}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$,

где ${\displaystyle \beta (x)}$ — бета-функция Дирихле.

Прямое дифференцирование рядов Фурье для функций Клаузена:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$,

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$,

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$,

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$.

Применение теоремы Ньютона — Лейбница даёт:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$.

Интегральный арктангенс определяется на интервале ${\displaystyle 0<z<1}$ как:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}$.

В терминах функций Клаузена он имеет следующий замкнутый вид:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$.

Для вещественного ${\displaystyle 0<z<1}$ функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функцию Барнса и гамма-функцию:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$,

или, что то же самое:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Функции Клаузена представляют собой действительную и мнимую части полилогарифма на единичной окружности:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}$.

Связь следует из определения полилогарифма через ряд:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}$;

по теореме Эйлера:

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$,

и по формуле Муавра:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$;

следовательно:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$.

Функции Клаузена тесно связаны с полигамма-функцией, их можно выразить в виде линейных комбинаций синусоид и полигамма-функций. Приведём одно из таких соотношений:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$.

Непосредственным следствием является эквивалентная формула в терминах дзета-функции Гурвица:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\zeta \left(2m,{\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\zeta \left(2m,{\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]}$.

Обобщенный log-sin-интеграл^{[уточнить]} определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$.

С помощью этой нотации функция Клаузена может быть выражена в виде:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}$

Эрнст Куммер и Роджерс установили следующее соотношение:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$,

верное при ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi }$.

Функция Лобачевского ${\displaystyle \Lambda }$ по сути является той же функцией с заменой переменной:

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}$.

Для рациональных значений ${\displaystyle \theta /\pi }$ (то есть, для ${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$ при некоторых целых числах ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$) функция ${\displaystyle \sin(n\theta )}$ может быть рассмотрена как представление периодической орбиты элемента в циклической группе, и, таким образом, ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$ можно выразить как простую сумму, включающую дзета-функцию Гурвица. Это позволяет легко вычислять соотношения с некоторыми L-функциями Дирихле.

Ускорение сходимости для функции Клаузена можно произвести следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$,

что справедливо при ${\displaystyle |\theta |<2\pi }$. Здесь ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана. Более быстро сходящаяся форма имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$.

Сходимости способствует тот факт, что ${\displaystyle \zeta (n)-1}$ быстро стремится к нулю при больших значениях ${\displaystyle n}$. Обе формы можно получить с помощью методов пересуммирования, используемых для получения рациональных дзета-рядов(Borwein et al. 2000).

Некоторые значение, записанные с использованием G-функции Барнса, постоянной Каталана ${\displaystyle G}$ и постоянной Гизекинга ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=G}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$

В общем случае из формулы отражения G-функции Барнса следует:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$.

Эквивалентно, с использованием формулы отражения Эйлера для гамма-функции, получаются значения:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}$

Некоторые частные значения для функций Клаузена высшего порядка:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}$,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$,

где ${\displaystyle \beta (x)}$ — бета-функция Дирихле, ${\displaystyle \eta (x)}$ — эта-функция Дирихле (также называемая знакопеременной дзета-функцией), и ${\displaystyle \zeta (x)}$ — дзета-функция Римана.

Решения интегралов, следующие из представлений функции Клаузена в виде ряда:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$.

Методы анализа Фурье можно использовать для нахождения первых интегралов с квадратом функции ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$ на интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$ (${\displaystyle \zeta }$ — дзета-функция нескольких переменных):^[1]:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2)}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right]}$.

Большое количество тригонометрических и логарифмо-тригонометрических интегралов можно вычислить с помощью функции Клаузена и различных распространённых математических констант, таких как ${\displaystyle G}$ (константа Каталана), ${\displaystyle \log 2}$ и частные случаи дзета-функции ${\displaystyle \zeta (2)}$ и ${\displaystyle \zeta (3)}$.

Непосредственно из интегрального представления функции Клаузена следуют:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2G-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2G+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2}$.

• Chapter 27.8 // Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.) / Eds.: M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972). — Washington D. C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications, 1983. — P. 1005. — (Applied Mathematics Series, Vol. 55). — ISBN 978-0-486-61272-0. — .
• Clausen, Thomas (1832). Über die Function sin φ + (1/2²) sin 2φ + (1/3²) sin 3φ + etc. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 8: 298–300. ISSN 0075-4102.
• Wood, Van E. (1968). Efficient calculation of Clausen's integral. Math. Comp. 22: 883–884. doi:10.1090/S0025-5718-1968-0239733-9. MR 0239733.
• Leonard Lewin, (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2ISBN 0-8218-4532-2
• Lu, Hung Jung; Perez, Christopher A. Massless one-loop scalar three-point integral and associated Clausen, Glaisher, and L-functions  (1992).
• Kölbig, Kurt Siegfried (1995). Chebyshev coefficients for the Clausen function Cl₂(x). J. Comput. Appl. Math. 64: 295–297. doi:10.1016/0377-0427(95)00150-6. MR 1365432.
• Borwein, Jonathan M.; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000). Computational Strategies for the Riemann Zeta Function. J. Comput. Appl. Math. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. MR 1780051.
• Adamchik, Viktor. S. Contributions to the Theory of the Barnes Function. arXiv:math/0308086v1.
• Kalmykov, Mikahil Yu.; Sheplyakov, A. (2005). LSJK – a C++ library for arbitrary-precision numeric evaluation of the generalized log-sine integral. Comput. Phys. Commun. 172 (1): 45–59. arXiv:hep-ph/0411100. Bibcode:2005CoPhC.172...45K. doi:10.1016/j.cpc.2005.04.013.
• Borwein, Jonathan M.; Straub, Armin (2013). Relations for Nielsen Polylogarithms. J. Approx. Theory. 193: 74–88. doi:10.1016/j.jat.2013.07.003.
• Mathar, R. J. A C99 implementation of the Clausen sums. arXiv:1309.7504 [math.NA].