Хи-функция Лежандра

Хи-функция Лежандра — это специальная функция, названная по имени французского математика Адриен Мари Лежандра. Хи-функция Лежандра определяется рядом Тейлора также являющимся рядом Дирихле:

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$

Таким образом Хи-функция Лежандра тривиально выражается через полилогарифм:

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]}$

Хи-функция Лежандра возникает в дискретном преобразовании Фурье, по индексу ν дзета-функции Гурвица, а также многочленов Эйлера.

Хи-функция Лежандра является частным случаем дзета-функции Лерха:

${\displaystyle \chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).}$

Свойства: ${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {1}{2}}\ln(x)\ln \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)}$ Функция Лежандра-Клаузена имеет несколько известных аналитических значений в определенных точках.

• Значение в точке 1:

${\displaystyle \chi _{2}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

• Значение в точке -1:

${\displaystyle \chi _{2}(-1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}=-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

• Значение в точке ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$:

${\displaystyle \chi _{2}({\sqrt {2}}-1)={\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {1}{4}}\ln ^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

• Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments (англ.) // Math. Comp.. — 1999. — No. 68. — P. 1623-1630.
• Djurdje Cvijović. "Integral representations of the Legendre chi function" (англ.) // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2006. — Vol. 2, no. 332. — P. 1056-1062. — ISSN 0022247X.

• Weisstein, Eric W. Legendre's Chi Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.