Цветение (геометрия)

Цветение правильных многогранников

Цветение (непрерывное цветение) — непрерывное трёхмерное движение поверхности многогранника, разрезанной для образования развёртки, от многогранника до плоской развёртки без наложения. Как и в жёстком оригами, многоугольники развёртки должны оставаться плоскими в течение движения и им не позволено пересекаться или проходить сквозь друг друга. Цветение, проходящее обратно от плоской развёртки к многограннику, можно представить интуитивно как способ сложить многогранник из бумаги, сгибая бумагу лишь в намеченных местах.

Нерешённые проблемы математики: Любая ли развёртка выпуклого многогранника имеет цветение?

В 1999 году установлено, что некоторые развёртки невыпуклых, но топологически сферических многогранников не имеют цветения[1]. Вопрос, любой ли выпуклый многогранник допускает развёртку с цветением, был поставлен Робертом Коннелли и стал известен как гипотеза цветения Коннелли[2]. Специальный вариант гипотезы — развёртка источника (то есть развёртка, которая разрезает поверхность многогранника по точкам с более чем одной кратчайшей геодезической до выбранной точки-источника, включая разрезы граней многогранника) всегда имеет цветение — высказан в 2003 году и доказан в 2009 году; кроме того, установлено, что любая развёртка выпуклого многогранника, многоугольники которой соединены в один путь, имеет цветение, а любая развёртка может быть преобразована в одну цепочку многоугольников[3]. В общей формулировке проблема Коннелли по состоянию на 2025 год остаётся нерешённой[2].

Поскольку неизвестно, имеет ли любой выпуклый многогранник развёртку, которая разрезает только по рёбрам и не пересекает грани (гипотеза Дюрера), неизвестно также, имеет ли любой выпуклый многогранник цветение, которое разрезает многогранник только по рёбрам. В неопубликованной рукописи 2009 года утверждалось, что для любого архимедова тела это верно[4].

К задаче поиска цветения для развёртки многогранника также применялся вычислительный подход как к задаче планирования движения[5][6][7].

Примечания

  1. ↑ Therese Biedl, Anna Lubiw, Julie Sun. When can a net fold to a polyhedron? // Computational Geometry. — 2005. — Т. 31, вып. 3. — С. 207–218. — doi:10.1016/j.comgeo.2004.12.004.
  2. ↑ 1 2 Ezra Miller, Igor Pak. Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings // Discrete & Computational Geometry. — 2008. — Т. 39, вып. 1–3. — С. 339–388. — doi:10.1007/s00454-008-9052-3.
  3. ↑ Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Vi Hart, John Iacono, Stefan Langerman, Joseph O'Rourke. Continuous blooming of convex polyhedra // Graphs and Combinatorics. — 2011. — Т. 27, вып. 3. — С. 363–376. — doi:10.1007/s00373-011-1024-3.
  4. ↑ How to cut out a convex polyhedron. — 2009. Архивировано из оригинала 20 января 2021 года.
  5. ↑ Guang Song, Nancy M. Amato. A motion-planning approach to folding: From paper craft to protein folding // IEEE Transactions on Robotics and Automation. — 2004. — Февраль (т. 20, вып. 1). — С. 60–71. — doi:10.1109/tra.2003.820926.
  6. ↑ Zhonghua Xi, Jyh-Ming Lien. Continuous unfolding of polyhedra – a motion planning approach // 2015 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS). — IEEE, 2015. — С. 3249–3254. — ISBN 978-1-4799-9994-1. — doi:10.1109/iros.2015.7353828.
  7. ↑ Yue Hao, Yun-hyeong Kim, Jyh-Ming Lien. Proceedings of the 2nd ACM Symposium on Computational Fabrication. — ACM. — P. 1–10. — ISBN 978-1-4503-5854-5. — doi:10.1145/3213512.3213517.
Эта статья взята у (из) Википедия. Текст лицензируется по Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. К медиа файлам могут применятся дополнительные условия.