Циклическая симметрия в трёхмерном пространстве

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Циклическая симметрия в в трёхмерном пространстве — это одна из четырёх бесконечных последовательностей точечных групп в трёхмерном пространстве, (n≥1) с вращением порядка n по одной оси (на угол 360°/n), которое не меняет объект.

Группы являются конечными группами симметрии на конусе. Для n = ∞ группы соответствуют чётырём группам бордюра. Для обозначения групп ниже используется нотация Шёнфлиса. Термины горизонтальная (h) и вертикальная (v) указывают на существование направления отражений по отношению к вертикальной оси симметрии. Показаны также нотации Коксетера в квадратных скобках и орбифолдная в круглых скобках.

Пример гаыа симметрии подгрупп для дтэдральной симметрии *D_4h*, [4,2], (*224)

Типы

Хиральная

C_n, [n]⁺, (nn) порядка n - вращательная симметрия порядка n - акро-n-угольная группа (абстрактная группа Z_n); для n=1 - без симметрии (тривиальная группа)

Ахиральные

C_nh, [n⁺,2], (n*) порядка 2n - призматическая симметрия или орто-n-угольная группа

(абстрактная группа Z_n × Dih₁); для n=1 она обозначается C_s (1*) и называется зеркальной или билатеральной симметрией. Она имеет зеркальную симметрию по отношению к плоскости, перпендикулярной оси вращения порядка n.

C_nv, [n], (*nn) порядка 2n - пирамидальная симметрия или полная акро-n-угольная группа (абстрактная группа Dih_n).

В биологии C_2v называется бирадиальной (двулучевой радиальной) симметрией. Для n=1 мы снова имеем C_s (1*). Симметрия имеет вертикальные плоскости зеркал и является группой симметрии для правильной n-угольной пирамиды.

S_2n, [2⁺,2n⁺], (n×) порядка 2n - гиро-n-угольная группа

(не путать с симметрическими группами, для которой используется та же нотация; абстрактная группа - Z_2n); Она имеет несобственное вращение порядка 2n, то есть, группа симметрии содержит комбинацию отражения в горизонтальной плоскости и вращение на угол 180°/n. Тогда, подобно D_nd, она содержит некоторое число несобственных вращений и не содержит соответствующих вращений.

- для n=1 мы имеем S₂ (1×), обозначаемая также как C_i; это центральная симметрия.

C_2h, [2,2⁺] (2*) и C_2v, [2], (*22) порядка 4 являются две из трёх 3D типов групп симметрии с четверной группой Кляйна в качестве абстрактной группы.

Группы бордюра

В пределе эти четыре группы представлюят группы бордюра на евклидовой плоскости - C_∞, C_∞h, C_∞v, и S_∞. Вращения становятся в пределе параллельным переносом. Порцию бесконечной плоскости можно отрезать и свернуть в бесконечный цилиндр.

Группы бордюра
Нотация				Примеры
IUC	Орбифолд.	Коксетер	Шёнфлис^*	Евклтдова плоскость	Цилиндрическая (n=6)
p1	∞∞	[∞]⁺	C_∞
p1m1	*∞∞	[∞]	C_∞v
p11m	∞*	[∞⁺,2]	C_∞h
p11g	∞×	[∞⁺,2⁺]	S_∞

Примеры

S₂/C_i (1x):	C_4v (*44):		C_5v (*55):
Параллелепипед	Квадратная пирамида	Удлинённая четырёхугольная пирамида	Пятиугольная пирамида

См. также

Диэдральная симметрия в трёхмерном пространстве

Примечания

Литература

Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York =: Dover Publications, Inc., 1993. — С. 165. — ISBN 0-486-67839-3.
John Horton Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions. — 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5.
Конвей, Джон Хортон, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6. [1]
N.W. Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5.