Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},}$

где все ${\displaystyle a_{i}}$ — комплексные числа^[1]. Циркулянт можно также кратко описать как ${\displaystyle C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n}}},\ i,j=1,\ldots ,n}$^[2]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы^[3].

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства^[4].

• ${\displaystyle AB=BA}$ и ${\displaystyle AB}$ — циркулянт.
• Матрицы ${\displaystyle {\overline {A}}}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ (транспонированная) и ${\displaystyle A^{*}}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
• Матрица ${\displaystyle A^{k}}$ циркулянтная при ${\displaystyle k\geqslant 0}$.
• Если ${\displaystyle A}$ невырождена, то ${\displaystyle A^{-1}}$ циркулянтная.
• Матрица ${\displaystyle A}$ — персимметричная и нормальная.

Обозначим ${\displaystyle \zeta }$ первообразный корень из единицы степени ${\displaystyle n}$. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle \operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n-1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)}).}$

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$^[3].

Примеры

Для ${\displaystyle n=2}$ определитель циркулянта равен:

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})=a_{1}^{2}-a_{2}^{2}.}$

Для ${\displaystyle n=3,\zeta ^{3}=1,\zeta \neq 1}$:

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\zeta +a_{3}\zeta ^{2})(a_{1}+a_{2}\zeta ^{2}+a_{3}\zeta )=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}.}$

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида^[5]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.}$

Матрица вида

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2}&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)}$

называется ${\displaystyle \varphi }$-косоциркулянтом порядка ${\displaystyle n}$ при ${\displaystyle \varphi \neq 0}$^[6].

Очевидно, что циркулянт является ${\displaystyle (1)}$-косоциркулянтом, а антициркулянт — ${\displaystyle (-1)}$-косоциркулянтом.

• Ганкелева матрица

• Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
• Davis, P. J.. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
• Aldrovandi, R.. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
• Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
• Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.