Четверная группа Клейна

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается ${\displaystyle V}$ или ${\displaystyle V_{4}}$ (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

Бинарная операция между элементами ${\displaystyle \{1,a,b,ab\}}$ (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли^[1]:

${\displaystyle {\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array}}}$

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$; наименьшей по порядку нециклической группой.

Все подгруппы четверной группы Клейна образуют решётку, которая называется ромб ${\displaystyle M_{3}}$^[2].

Является простейшей группой диэдра ${\displaystyle D_{2}}$^[3]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа ${\displaystyle S_{4}}$ имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу ${\displaystyle A_{4}}$ и четверную группу Клейна ${\displaystyle V_{4}}$, состоящую из подстановок ${\displaystyle (),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$^[3].

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

• множество ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$ с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
• приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
• группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на ${\displaystyle 180^{\circ }}$ и два отражения относительно диагоналей^[4].
• группа поворотов тетраэдра на угол ${\displaystyle \pi }$ вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)^[5].

1. ↑ Александров, 1980, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвёртого порядка», с. 23.
2. ↑ Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями, 1984, Глава первая. § 3. Модулярные решётки. 5, с. 32.
3. ↑ ^{1 2} В. Ф. Зайцев. п. 2, Дискретные группы преобразований // Введение в современный групповой анализ. — СПб., 1996. — С. 10.
4. ↑ Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», с. 71.
5. ↑ Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», с. 75.

• П. С. Александров. Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — 144 с. с. — (Библиотечка Квант, вып. 7).
• Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М.: Наука, 1989. — 336 с.
• Салий В. Н. Решетки с единственными дополнениями (рус.). — М.: «Наука», 1984. — 128 с., ил. — 4400 экз.