Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют ${\displaystyle \wp }$-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ ${\displaystyle \wp }$ (стилизованное P).

Пусть задана эллиптическая кривая ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — решётка в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тогда ${\displaystyle \wp }$-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).}$

Можно увидеть, что так определённая функция будет ${\displaystyle \Gamma }$-периодичной на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, и потому является мероморфной функцией на ${\displaystyle E}$.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$ — «наивной» попытки задать ${\displaystyle \Gamma }$-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на ${\displaystyle \Gamma }$ имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как${\displaystyle {\frac {1}{|w|^{2}}}}$, а сумма ${\displaystyle \sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}}$ по двумерной решётке ${\displaystyle \Gamma }$ расходится.

Задавая решётку ${\displaystyle \Gamma }$ её базисом, ${\displaystyle \Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}}$, можно записать

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).}$

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, а именно, ${\displaystyle \wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$, для ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ имеет место равенство

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).}$

Поэтому рассматривают

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).}$

• Функция Вейерштрасса ${\displaystyle \wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}}$ — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом ${\displaystyle z\mapsto -z}$ кривой E — точки 0 и трёх полупериодов ${\displaystyle \omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2}$. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой ${\displaystyle E/(z\mapsto -z)}$ (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$.
• Воспользовавшись разложением ${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}}$ и просуммировав по ${\displaystyle w\in \Gamma \setminus \{0\}}$, можно получить разложение в точке ${\displaystyle z=0}$ функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},}$ где ${\displaystyle G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}}$ — ряды Эйзенштейна для решётки ${\displaystyle \Gamma }$ (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при ${\displaystyle z^{2}}$ и ${\displaystyle z^{4}}$ зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$:

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$

где ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ — модулярные инварианты решётки ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).}$

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение ${\displaystyle F:E\to \mathbb {C} P^{2}}$, задаваемое вне точки ${\displaystyle z=0}$ как ${\displaystyle F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in \mathbb {C} ^{2}.}$ Поскольку функция ${\displaystyle \wp }$ мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции ${\displaystyle \wp (z)}$, так и функции ${\displaystyle \wp '(z)}$ — это точка ${\displaystyle z=0}$. Более того, поскольку ${\displaystyle \wp (z)}$ — чётная функция, ${\displaystyle \wp '(z)}$ — нечётная, и, соответственно, ${\displaystyle (\wp '(z))^{2}}$ — чётная. Функция ${\displaystyle \wp (z)}$ имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса ${\displaystyle (\wp ')^{2}}$ могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней ${\displaystyle \wp }$. Явно подбирая коэффициенты из разложений

${\displaystyle \wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,}$

${\displaystyle (\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}(\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3}(\Gamma )+\dots ,}$

видим, что разница

${\displaystyle \varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)}$

в точке ${\displaystyle z=0}$ неособая. Но ${\displaystyle \varphi (z)}$ голоморфна и вне ${\displaystyle z=0}$ (в силу голоморфности ${\displaystyle \wp }$ и ${\displaystyle \wp '}$), поэтому ${\displaystyle \varphi (z)}$ — голоморфная на всей компактной римановой поверхности ${\displaystyle E}$ функция. В силу принципа максимума ${\displaystyle \varphi (z)}$ — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным ${\displaystyle -g_{3}(E)}$. Окончательно, функция ${\displaystyle (\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)}$ обращается на ${\displaystyle E}$ в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения ${\displaystyle F}$ это эллиптическая кривая в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$, задаваемая уравнением

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).}$

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ с соответствующими суммами обратных степеней ${\displaystyle G_{2}(E)}$ и ${\displaystyle G_{3}(E)}$: благодаря такому традиционному выбору нормировки, в уравнении на кривую ${\displaystyle g_{2}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ — это в точности коэффициент при ${\displaystyle x}$ и свободный член.

Для эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ задающая её решётка ${\displaystyle \Gamma }$ не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре ${\displaystyle (E,\omega )}$, где ${\displaystyle \omega }$ — ненулевая голоморфная 1-форма на ${\displaystyle E}$: в качестве ${\displaystyle \omega }$ можно взять проекцию на ${\displaystyle E}$ формы ${\displaystyle dz}$ на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, тогда ${\displaystyle \Gamma }$ восстанавливается как набор всевозможных интегралов ${\displaystyle \omega }$ по петлям на торе ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle \Gamma =\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}}$

На эллиптической кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}$, являющейся образом отображения ${\displaystyle F=(\wp _{E},\wp '_{E})}$, имеется голоморфная форма ${\displaystyle \omega ={\frac {dx}{y}}}$. Несложно видеть, что она является в точности образом формы ${\displaystyle dz}$ на ${\displaystyle E}$ при отображении ${\displaystyle F}$. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению ${\displaystyle F}$ ищется как интеграл формы ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle z(x,y)=\int _{\infty }^{(x,y)}{\frac {dx}{y}},}$

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой ${\displaystyle F(E)}$. Бесконечно удалённая точка на кривой ${\displaystyle F(E)}$ при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки ${\displaystyle z=0}$, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов ${\displaystyle \Gamma }$.

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

${\displaystyle \wp _{E}^{-1}(x)=\int _{\infty }^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.}$

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент ${\displaystyle \Gamma }$).

• Решётка ${\displaystyle \Gamma }$ восстанавливается как множество интегралов формы ${\displaystyle {\frac {dx}{y}}}$ по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)}$.

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$ это просто сложение точек ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Для «геометрического» — как вложенной в ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$ кривой ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+px+q}$ — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение ${\displaystyle F=(\wp (z),\wp '(z))}$ переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0}$

для любых ${\displaystyle u+v+w=0}$. Также, ввиду чётности ${\displaystyle \wp }$ и нечётности ${\displaystyle \wp '}$, оно может быть записано как

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp '(z+w)&1\end{bmatrix}}=0}$

С помощью ${\displaystyle \wp }$-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$, можно рассмотреть отображение ${\displaystyle D}$ удвоение на торе ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Gamma }$:

${\displaystyle D(z)=2z\,\mod \mathbb {Z} [i].}$

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение ${\displaystyle D}$ корректно спускается на фактор ${\displaystyle S^{2}=E/(z\sim -z)}$. Поэтому отображение D отображением ${\displaystyle \wp }$ полусопряжено некоторому рациональному отображению ${\displaystyle R:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$:

${\displaystyle \wp \circ D=R\circ \wp .}$

Иными словами,

${\displaystyle R(z)=\wp (2\wp ^{-1}(z)).}$

Для такого отображения ${\displaystyle R}$ образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа ${\displaystyle J(R)=\mathbb {C} P^{1}}$, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения ${\displaystyle R}$ равна четырём (поскольку отображение ${\displaystyle z\mapsto 2z}$ на торе имеет степень 4), и его коэффициенты ${\displaystyle R}$ можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора ${\displaystyle R}$ в нуле через ряд Лорана для ${\displaystyle \wp }$ (и, соответственно, для ${\displaystyle \wp ^{-1}}$).

• Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2