Квантор всеобщности

Ква́нтор всео́бщности (обозначения: $\forall$ , ∀) — условие, которое верно для всех обозначенных элементов, в отличие от квантора существования, где условие верно только для каких-то отдельных элементов из указанного множества. Формально это квантор, используемый для обозначения того, что множество целиком лежит в области истинности указанного предиката. Читается как «для всех…», «для каждого…», «для любого…» или «все…», «каждый…», «любой…».

Квантор всеобщности — это объект, с помощью которого формализуется высказывание о том, что какое-то логическое выражение истинно для всего или по крайней мере для той области определения, в которой это выражение имеет смысл. Применяется в предикатной и символической логике.

Варианты чтения

Выражение $(\forall x\in X)P(x)$ читается так:

для любого (всякого, каждого) значения x из множества X утверждение (предикат) P(x) истинно;
всякий (любой, каждый) элемент x множества X (где X — множество значений переменной x) обладает свойством P(x);
каково бы ни было значение x из множества X, P(x) — истина.

Интерпретации

В теории кванторов Пирса кванторы трактуются как функции логического выбора. Квантор существования оставляет возможность для говорящего сделать выбор объекта в универсуме дискурса, тогда как квантор всеобщности даёт такую функцию выбора тому, кому это утверждение было высказано (интерпретатору).

История

Символ $\forall$ для квантора всеобщности введён Герхардом Генценом в 1935 году^[1] по аналогии с символом квантора существования $\exists$ , введённым Джузеппе Пеано в 1897 году^[2]. Бертран Рассел ранее использовал нотацию (x) = «для всех x»^[3], однако Генцен счёл это обозначение неудобным, поскольку скобки используются в математике в ряде других контекстов^[1]. Ранее (начиная с 1894 года) сходное обозначение использовал Джузеппе Пеано: он применял букву Λ (перевёрнутую латинскую V) для пустого множества, а латинскую V (производя это обозначение от фр. vrai — «истинный»^[4]) — для полного множества (итал. il tutto — «всё»)^[2].

Концепция была предложена ранее в книге Begriffsschrift (Исчисление понятий) (1879) Готлоба Фреге^[5].

Несмотря на популярное заблуждение, обозначение символа произошло от немецкого für Alle (для всех), а не от английских слов All и Any (все, любой)^[1].

Графема	Название	Юникод	HTML	мнемоника	LaTeX
∀	FOR ALL	U+2200	`∀`	`&#forall;`	`\forall`

Факты

В теоретико-игровой семантике Яакко Хинтикки квантор всеобщности называется «Абеляром», а квантор существования — «Элоизой».

Примечания

↑ ¹ ² ³ Gentzen G. Untersuchungen ueber das logische Schliessen (нем.) // Mathematische Zeitschrift. — 1935. — Bd. 39. — S. 178.
↑ ¹ ² Peano G. Studii Di Logica Matematica (итал.). — Torino: Carlo Clausen, 1897. — P. 14, 19. — 22 p. — (Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Vol. XXXII).
↑ Russell B. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types (англ.) // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30. — P. 222—262.
↑ Peano G. Notations de logique mathématique // Formulaire de mathématiques (фр.). — Turin, 1894. — P. 7.
↑ Frege G. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (нем.). — Halle, 1879.

[gen35-1] ¹ ² ³ Gentzen G. Untersuchungen ueber das logische Schliessen (нем.) // Mathematische Zeitschrift. — 1935. — Bd. 39. — S. 178.

[pea97-2] ¹ ² Peano G. Studii Di Logica Matematica (итал.). — Torino: Carlo Clausen, 1897. — P. 14, 19. — 22 p. — (Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Vol. XXXII).

[3] Russell B. Mathematical Logic as Based on the Theory of Types (англ.) // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30. — P. 222—262.

[4] Peano G. Notations de logique mathématique // Formulaire de mathématiques (фр.). — Turin, 1894. — P. 7.

[5] Frege G. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (нем.). — Halle, 1879.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]