J-гомоморфизм

J-гомоморфизм — гомоморфизм из гомотопических групп ${\displaystyle \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))}$ специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер. Он был определен Джорджем Уайтхедом как обобщение конструкции Хайнца Хопфа, который построил этот гомоморфизм для случая ${\displaystyle r=q+1}$.

J-гомоморфизм есть гомоморфизм абелевых групп

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),}$

определённый для всех целых чисел ${\displaystyle r,q\geqslant 2}$.

Элемент специальной ортогональной группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (q)}$ можно рассматривать как отображение

${\displaystyle \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.}$

Значит, элементам гомотопической группы ${\displaystyle \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))}$ сопоставляется гомотопический класс отображения

${\displaystyle \mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.}$

Применение к этому конструкции Хопфа даёт отображение

${\displaystyle \mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1})=\mathbb {S} ^{q},}$

гомотопический класс которого есть образ этого элемента при J-гомоморфизме.