Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Преобразования

${\displaystyle Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),}$

${\displaystyle P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),}$

${\displaystyle i=1,\ldots ,s,}$, где ${\displaystyle s}$ — число степеней свободы,

${\displaystyle {\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};p_{1},\ldots ,p_{s})}}\neq 0,}$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$:

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},}$

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$:

${\displaystyle {\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},}$

${\displaystyle {\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.}$

Переменные ${\displaystyle Q_{i}}$ и ${\displaystyle P_{i}}$ называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle p_{i}}$ — старыми координатами и импульсами.

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,}$

где постоянную ${\displaystyle c\neq 0}$ называют валентностью канонического преобразования, ${\displaystyle dF}$ — полный дифференциал некоторой функции ${\displaystyle F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)}$ (предполагается, что ${\displaystyle P_{i}}$ и ${\displaystyle Q_{i}}$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых ${\displaystyle c=1}$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные ${\displaystyle c}$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}}$, причём выбор независим для каждого ${\displaystyle i=1,\cdots ,s}$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого ${\displaystyle i}$ одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции ${\displaystyle F}$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты ${\displaystyle F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)}$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции ${\displaystyle F}$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех ${\displaystyle i}$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

${\displaystyle F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}(p,P,t),}$

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов ${\displaystyle q=(q_{1},\cdots ,q_{2})}$ ${\displaystyle p=(p_{1},\cdots ,p_{2})}$, аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Пусть ${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{1},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.}$

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Пусть ${\displaystyle F_{2}(q,P,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{2},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.}$

Пусть ${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{3},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}},}$

${\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)\neq 0.}$

Пусть ${\displaystyle F_{4}(p,P,t)}$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.}$

кроме того, задано некоторое число ${\displaystyle c\neq 0}$, тогда пара ${\displaystyle (F_{4},c)}$ задаёт каноническое преобразование по правилу

${\displaystyle q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}},}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}},}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.}$

Связь с исходной производящей функцией:

${\displaystyle F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).}$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.}$

1. Тождественное преобразование

${\displaystyle Q=q,}$

${\displaystyle P=p,}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$

может быть получено при:

${\displaystyle F_{2}=qP,\quad c=1.}$

2. Если задать

${\displaystyle F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,}$

то полученное преобразование будет иметь вид:

${\displaystyle Q=\alpha p,}$

${\displaystyle P=\beta q.}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\alpha \beta H}$

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

${\displaystyle Q=-q,}$

${\displaystyle P=-p,}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=H}$

может быть получено при:

${\displaystyle F_{2}=-qP,\quad c=1.}$

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

${\displaystyle F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,}$

тогда

${\displaystyle Q=\varphi (q,t).}$

В частности, если

${\displaystyle F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,}$

где ${\displaystyle A,}$ — ортогональная матрица:

${\displaystyle A^{T}A=E,}$

то

${\displaystyle Q=Aq,}$

${\displaystyle P=A^{T}p.}$

К точечным преобразования приводит и функция:

${\displaystyle F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,}$

тогда

${\displaystyle q=-\phi (Q,t).}$

В частности функция

${\displaystyle F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,}$

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных ${\displaystyle (p,q)}$ системы с одной степенью свободы:

${\displaystyle Q=\alpha q+\beta p}$

${\displaystyle P=\gamma q+\delta p}$

является унивалентным каноническим преобразованием при

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

производящая функция:

${\displaystyle F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2}.}$

Такие преобразования образуют специальную линейную группу ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$.

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt}$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

${\displaystyle \lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,}$

${\displaystyle \lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,}$

${\displaystyle \lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.}$

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций ${\displaystyle f(Q,P,t)}$ и ${\displaystyle g(Q,P,t)}$ условия:

${\displaystyle \lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},}$

где под ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq}}$ и ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ}}$ понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

${\displaystyle \lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}}$

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

${\displaystyle [p_{i},p_{k}]=0,}$

${\displaystyle [q_{i},q_{k}]=0,}$

${\displaystyle [q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.}$

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..