Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи^[1] и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right).}$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира^[2].
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

${\displaystyle T^{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{matrix}}\right)}$

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻² (как у давления или плотности энергии).

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$, где ${\displaystyle {\rho }}$ есть плотность массы, а ${\displaystyle p}$ — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

${\displaystyle T^{ik}=\rho \,u^{i}u^{k}}$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность массы (покоя), ${\displaystyle u^{i},u^{k}}$ — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо ещё суммировать (интегрировать) по скоростям.

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }(\phi _{i},\partial _{\mu }\phi _{i})}$, зависящего от полевых функций ${\displaystyle \phi _{i}}$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }\\\phi _{i}(x)\to \phi _{i}^{\prime }(x^{\prime })=\phi _{i}(x).\end{cases}}}$

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

${\displaystyle {{T_{c}}^{\mu }}_{\nu }(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\delta _{\nu }^{\mu },}$

который имеет вид

${\displaystyle \partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\nu }\equiv T_{\nu ,\;\mu }^{\mu }=0.}$

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

${\displaystyle T^{\mu \nu }=g^{\nu \rho }\,{T^{\mu }}_{\rho }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial ^{\nu }\phi _{i}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g^{\mu \nu }.}$

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины ${\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{\mu \nu \lambda }}{\partial x^{\lambda }}}\;,}$ где тензор ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }\;}$ антисимметричен по двум последним индексам ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu }}$. Действительно, для симметризованного ТЭИ

${\displaystyle \Theta ^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+\partial _{\lambda }\psi ^{\mu \nu \lambda }}$

автоматически следует закон сохранения ${\displaystyle \partial _{\nu }\Theta ^{\mu \nu }=0.}$

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)}$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ в точке ${\displaystyle x}$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${\displaystyle {T_{m}}^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}=g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g_{\mu \nu }}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\sqrt {-g}}}\left({\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial g_{\mu \nu }(x)}}-{\frac {\partial }{\partial x^{\lambda }}}{\frac {\partial ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\partial \displaystyle {\frac {\partial g_{\mu \nu }(x)}{\partial x^{\lambda }}}}}+\ldots \right),}$

где ${\displaystyle g(x)=\det \left(g_{\mu \nu }(x)\right).}$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

${\displaystyle {\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }\right)=T_{\mu \nu }(x),}$

где ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — тензор Риччи, ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

${\displaystyle T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0.}$

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

${\displaystyle T_{00}={\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{01}&T_{02}&T_{03}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{10}&T_{20}&T_{30}\end{pmatrix}}={\frac {1}{c}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right]}$

${\displaystyle T_{ij}=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )=E_{i}D_{j}+B_{i}H_{j}-\delta _{ij}T_{00}.}$

Пространственные компоненты ${\displaystyle T_{ij}}$ образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений^[3] или тензором натяжений Максвелла^[4].

В ковариантной форме можно записать:

${\displaystyle T^{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}[F^{\mu \alpha }F_{\alpha }{}^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}$

В квантовой теории поля тензор энергии-импульса переходит из классической наблюдаемой в операторнозначное распределение, выступая генератором алгебры Пуанкаре в пространстве состояний и источником гравитационного поля в полуклассическом пределе. Его конструкция требует учёта процедур квантования, перенормировки и возможных квантовых аномалий.

Операторное определение и конструкция

Исходным пунктом является классическое действие ${\displaystyle S[\phi ]=\int d^{4}x,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}$, инвариантное относительно глобальных преобразований Пуанкаре ${\displaystyle x^{\mu }\to \Lambda _{\nu }^{\mu }x^{\nu }+a^{\mu }}$. Теорема Нётер предписывает сохранение канонического тензора энергии-импульса:

${\displaystyle T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \mu \phi )}}\partial ^{\nu }\phi -\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}},\quad \partial _{\mu }T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}=0.}$

Данный тензор, вообще говоря, не симметричен ${\displaystyle T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}\neq T^{\nu \mu }{_{\text{can}}}}$. Симметричный улучшенный тензор Белинфанте строится добавлением дивергенции суперпотенциала, антисимметричного по первым двум индексам:

${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{_{\text{can}}}+\partial _{\rho }\Psi ^{\rho \mu \nu },\quad \Psi ^{\rho \mu \nu }=-\Psi ^{\mu \rho \nu }.}$

При переходе к квантовой теории поля становятся операторами, действующими на гильбертово пространство Фока. Соответственно, ТЭИ становится операторнозначным распределением ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$. Его определение сталкивается с проблемами, связанными с сингулярностью произведения операторов в одной точке пространства-времени. Для придания строгого смысла выражению ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)=\mathop {:} {\frac {\partial {\hat {\mathcal {L}}}}{\partial (\partial _{\mu }{\hat {\phi }})}}\partial ^{\nu }{\hat {\phi }}-\eta ^{\mu \nu }{\hat {\mathcal {L}}}\mathop {:} +{\text{контрчлены}}}$ требуется применение процедур перенормировки и, часто, нормального упорядочения.

Алгебраические свойства и генераторы симметрий

Корректно определённый оператор ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ должен удовлетворять следующим аксиоматическим свойствам:

• Симметрия: ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)={\hat {T}}^{\nu \mu }(x)}$.

• Сохранение: Локальное сохранение выполняется на пространстве физических состояний:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {T}}^{\mu \nu }(x)=0.}$

• Ковариантность относительно группы Пуанкаре: ${\displaystyle U(\Lambda ,a){\hat {T}}^{\mu \nu }(x)U^{-1}(\Lambda ,a)=\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }{\hat {T}}^{\rho \sigma }(\Lambda x+a),}$, где ${\displaystyle U(\Lambda ,a)}$ — унитарное представление группы Пуанкаре.

Пространственные интегралы от плотностей ${\displaystyle {\hat {T}}^{0\nu }(x)}$ дают генераторы группы Пуанкаре:

• Оператор полного 4-импульса:

${\displaystyle {\hat {P}}^{\nu }=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}x,{\hat {T}}^{0\nu }(\mathbf {x} ,t).}$

• Оператор момента импульса:

${\displaystyle {\hat {M}}^{\mu \nu }=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}x,\left(x^{\mu }{\hat {T}}^{0\nu }(\mathbf {x} ,t)-x^{\nu }{\hat {T}}^{0\mu }(\mathbf {x} ,t)\right).}$

Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре:

${\displaystyle [{\hat {P}}^{\mu },{\hat {P}}^{\nu }]=0,\quad [{\hat {M}}^{\mu \nu },{\hat {P}}^{\rho }]=i(\eta ^{\mu \rho }{\hat {P}}^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }{\hat {P}}^{\mu }),}$

${\displaystyle [{\hat {M}}^{\mu \nu },{\hat {M}}^{\rho \sigma }]=i(\eta ^{\mu \rho }{\hat {M}}^{\nu \sigma }-\eta ^{\mu \sigma }{\hat {M}}^{\nu \rho }-\eta ^{\nu \rho }{\hat {M}}^{\mu \sigma }+\eta ^{\nu \sigma }{\hat {M}}^{\mu \rho }).}$

Перенормировка, аномалии и тождества Уорда

В квантованной теории классические симметрии могут нарушаться квантовыми эффектами . Наиболее важной является трейс-аномалия (конформная аномалия). Если классическое действие инвариантно относительно масштабных преобразований, то классический след ТЭИ обращается в ноль: ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$. В квантовой теории это свойство нарушается. Для безмассового поля в искривлённом пространстве-времени:

${\displaystyle \langle {\hat {T}}_{\mu }^{\mu }\rangle ={\frac {1}{(4\pi )^{2}}}\left(cC_{\mu \nu \rho \sigma }C^{\mu \nu \rho \sigma }-aE_{4}\right),}$

где ${\displaystyle C_{\mu \nu \rho \sigma }}$ — тензор Вейля, ${\displaystyle E_{4}}$ — скалярная кривизна Эйлера (4-форма Гаусса-Бонне), а ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a}$ — центральные заряды, характеризующие теорию. В плоском пространстве-времени для калибровочных теорий это упрощается до:

${\displaystyle \langle {\hat {T}}_{\mu }^{\mu }\rangle ={\frac {\beta (g)}{2g}}\langle {\hat {F}}_{\mu \nu }^{a}{\hat {F}}^{a\mu \nu }\rangle +\gamma _{m}(g)m\langle {\hat {\bar {\psi }}}{\hat {\psi }}\rangle ,}$

где ${\displaystyle \beta (g)}$ — бета-функция, а ${\displaystyle \gamma _{m}}$ — аномальная размерность массы.

Корреляционные функции, содержащие ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$, удовлетворяют тождествам Уорда-Такахаши, которые являются квантовым аналогом теоремы Нётер. Для ${\displaystyle n}$-точечной функции скалярных полей имеет место тождество:

${\displaystyle \partial _{\mu }^{x}\langle T{{\hat {T}}^{\mu \nu }(x){\hat {\phi }}(x_{1})\ldots {\hat {\phi }}(x_{n})}\rangle =-\sum _{k=1}^{n}\delta (x-x_{k})\partial _{x_{k}}^{\nu }\langle T{{\hat {\phi }}(x_{1})\ldots {\hat {\phi }}(x_{n})}\rangle ,}$

где ${\displaystyle T}$ обозначает хронологическое упорядочение.

Специфика калибровочных теорий

В калибровочных теориях (КЭД, КХД) построение калибровочно-инвариантного ТЭИ является нетривиальной задачей. Калибровочная инвариантность требует модификации классического выражения. Для квантовой электродинамики (КЭД) симметричный и калибровочно-инвариантный тензор имеет вид:

${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }{_{\text{QED}}}=\mathop {:} {\hat {F}}^{\mu \rho }{\hat {F}}_{\rho }^{\nu }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }{\hat {F}}_{\rho \sigma }{\hat {F}}^{\rho \sigma }+{\frac {i}{2}}{\bar {\hat {\psi }}}(\gamma ^{\mu }{\overset {\leftrightarrow }{D^{\nu }}}+\gamma ^{\nu }{\overset {\leftrightarrow }{D^{\mu }}}){\hat {\psi }}\mathop {:} ,}$

где ${\displaystyle D\mu =\partial _{\mu }-ie{\hat {A}}_{\mu }}$ — ковариантная производная, а ${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{D_{\mu }}}={\overset {\rightarrow }{D_{\mu }}}-{\overset {\leftarrow }{D_{\mu }}}}$.

Аксиоматический подход

В рамках аксиоматического подхода Вайтмана или локальной квантовой теории поля (алгебраический подход Хаг-Кастлера) тензор энергии-импульса определяется как операторнозначное распределение, удовлетворяющее следующим условиям:

• Локальность: Для любых двух пространственноподобно разделённых точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$) операторы ${\displaystyle {\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ и ${\displaystyle {\hat {T}}^{\rho \sigma }(y)}$ коммутируют: ${\displaystyle [{\hat {T}}^{\mu \nu }(x),{\hat {T}}^{\rho \sigma }(y)]=0.}$

• Положительность энергии: Для любого времениподобного или светоподобного вектора ${\displaystyle n_{\mu }}$ плотность энергии ${\displaystyle n_{\mu }n_{\nu }{\hat {T}}^{\mu \nu }(x)}$ является положительным оператором.

• Ковариантность: Закон преобразования относительно группы Пуанкаре.

Этот подход обеспечивает математически строгий фундамент для квантовой теории поля, свободный от проблем пертурбативного подхода.

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.
• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields. Vol.1: Foundations. — Cambridge University Press, 1995.
• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields. Vol. 2: Modern Applications. — Cambridge University Press, 1996.
• Streater, R.F., Wightman, A.S. PCT, Spin and Statistics, and All That. — Princeton University Press, 1964.