Формула Зельмейера

Фо́рмула Зельме́йера (уравне́ние Селлме́йера) — эмпирическая формула, описывающая зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды. Уравнение используется для определения дисперсии света в этой среде.

Впервые оно было предложено в 1872 году Вильгельмом Селлмейером и являлось развитием работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии^[1].

В своём первоначальном и наиболее общем виде уравнение Селлмейера имеет вид

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}},}$

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а B_i и C_i — экспериментально определяемые коэффициенты Селлмейера. Эти коэффициенты обычно указываются для λ, выраженной в микрометрах. Обратите внимание, что λ — это длина волны света в вакууме, а не длина волны в самом материале, которая равна λ/n. Для некоторых типов материалов, например кристаллов, иногда используется другая форма уравнения.

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения с силой B_i на длине волны C_i^1/2. Например, коэффициенты для стекла BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области (77,5 нм и 141,5 нм) и одному в средней инфракрасной области (10 176 нм). Вблизи каждого пика поглощения уравнение даёт нефизические значения n² = ±∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую как модель Гельмгольца.

Если все коэффициенты для материала известны, на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

${\displaystyle n\approx {\sqrt {1+\sum \nolimits _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}},}$

где ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для описания стёкол обычно используется уравнение, состоящее из трёх членов^[2][3]:

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}}.}$

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для стекла крон, известного как BK7:

Коэффициенты Селлмейера для многих распространённых оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info.

Для обычных оптических очков показатель преломления, рассчитанный с помощью трёхчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10⁻⁶ в диапазоне длин волн от 365 нм до 2,3 мкм^[4], что по порядку величины соответствует однородности стекла^[5]. Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчёт ещё более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двучленной форме^[6]:

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Здесь коэффициент A является приближением вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры, давления и других параметров.

• Показатель преломления. ИНФОРМАЦИЯ База данных показателя преломления с коэффициентами Зельмейера для многих сотен материалов.
• Калькулятор на основе браузера, рассчитывающий показатель преломления на основе коэффициентов Селлмейера.
• Коэффициенты Селлмейера для 356 марок стекла производства компаний «Schott», «Ohara» и «Hoya»